2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение02.02.2016, 21:28 


16/12/14
472
Читая учебник по ТФКП, я наткнулся на упоминание про принцип модуля. Автор учебника его не доказал, но упомянул что это возможно, вот я и решил восполнить пробел.

0) Пусть нам дана область $D$ с контуром $l$, в которой определена аналитическая функция $f(x)$, которая к тому же непрерывна на контуре $l$. Пусть $M$ - максимум модуля функции $f(x)$ на контуре $l$, тогда верно что для всякого $z$ из области D, $\left\lvert f(z) \right\rvert \leqslant M$, причем равенство достигается лишь в том случае, когда $f(x)$ есть постоянная функция ($z$ лежит внутри $D$).

0) Само неравенство было доказано в учебнике, и это не представляет особого интереса, но не был доказан пассаж про то что равенство достигаеться лишь для константной функции.

1) Пусть это не так, тогда существует некоторая точка $a$, в которой достигаеться максимум модуля функции.
$\left\lvert f(a)\right\rvert = M, a \in D$


Введем новую функцию $\varphi (x) = f(x) -  f(a)$, которая тоже, очевидно, аналитична всюду в $D$ и непрерывна на контуре. И применим формулу Коши для точки $a$, тогда мы имеем:
$0 = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{l}^{}\frac{\varphi(t)}{t - a}dt$

$0 = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{l}^{}\frac{f(t) - f(a)}{t - a}dt$
$\int \limits_{l}^{}\frac{f(t)}{t - a}dt = \int \limits_{l}^{}\frac{ f(a)}{t - a}dt$
Значит равны и модули этих интегралов, далее вынося постоянную $f(a)$ за знак интеграла и навешивая на нее модуль получаем:

$\left\lvert\int \limits_{l}^{}\frac{f(t)}{t - a}dt\right\rvert = \left\lvert f(a) \right\rvert \left\lvert\int \limits_{l}^{}\frac{1}{t - a}dt \right\rvert$, тогда вспоминая что всюду на $l$ $\left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant \left\lvert f(a) \right\rvert$ мы заключаем, что $f(x) = f(a)$ на $l$, тогда по формуле Коши для любой точки в $D$:

$f(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{l}^{}\frac{f(a)}{t - x}dt = \frac{f(a)}{2 \pi i} \int\limits_{l}{} \frac{dt}{t - x} = f(a)$

В доказательстве очень не уверен в переходе к тому,что $f(x) = f(a)$ на контуре и прошу помощи с аккуратным доказательством этого факта,возможно стоит применить теорему о среднем или воспользоваться оценкой модуля интеграла...

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение02.02.2016, 22:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
$f(z)=z$
$D=\{|z|\le 1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение02.02.2016, 22:09 


16/12/14
472
Otta
А да неплохой контрпример для перехода к постоянству функции, однако это не опровергает самого утверждения, поскольку максимум модуля как раз приходиться на границе области. Надо искать другой подход к доказательству. Запрашивую подсказку стоит использовать формулу Коши или есть другой способ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение02.02.2016, 23:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Pulseofmalstrem
Нет, это не к тому пример был. Несколько кривая формулировка,
Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):
причем равенство достигается лишь в том случае

здесь надо было что-то вроде "причем равенство достигается по крайней мере в одной внутренней точке"... а еще лучше все сначала переписать. :D

По доказательству.

Не надо там никаких Коши. Из этой теоремы (для непостоянных функций) сразу следует отсутствие внутренних локальных экстремумов модуля (покажите), а потом с помощью теоремы Шварца - требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 00:47 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Э, да ничё, нормально: Pulseofmalstrem как раз и смотрит случай, когда максимум - во внутренней точке.
Товарщ сам сочинил - ну, кустарное доказательство - и хочет убедиться в его корректности. А оно - не очень...
Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):
заключаем, что $f(x) = f(a)$ на $l$,


Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):
очень не уверен в переходе к тому,что $f(x) = f(a)$ на контуре

И правильно не уверены. А вот если бы вы интегрировали по окружности, то сделать вывод отсюда, что, по крайней мере, $|f(x)| = |f(a)|$ на окружности, можно (а почему?). Ну, а потом - точки с максимумом модуля размножились, и ?
Так что чуток удобнее, действительно,
Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):
озможно стоит применить теорему о среднем

Otta
Про лемму Шварца: ее, по моему, как раз из макс-модуля выводят, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 00:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
DeBill в сообщении #1096296 писал(а):
Про лемму Шварца: ее, по моему, как раз из макс-модуля выводят, нет?

А это где как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 00:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Там, насколько помню, совсем уж так дёшево не делается. Да, постоянство модуля в некоторой окрестности, допустим, очевидно. Но чтоб перейти от него к постоянству самой функции -- придётся задействовать какой-нибудь логарифм (или типа того). И потом -- непременно приплесть какого-нибудь Гейне-Бореля; вот уж его точно обойти не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 01:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну нет, после того как основная часть - к которой у ТС нет вопросов - доказана, там особо делать нечего. По сути, надо показать отсутствие внутренних экстремумов.

А что-то да, Шварц тут и не нужен, Шварц он наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 01:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну что значит нет. От окрестностей ко всей области переходить в любом случае придётся, и это совсем не безобидно. Да, стандартно, но -- не безобидно (тем более в рамках ТФКП, где это, вообще-то -- редкость).

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 02:02 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ewert в сообщении #1096312 писал(а):
от окрестностей ко всей области переходить в любом случае придётся,

Это - да. Можно , например, так. Область - связна. Множество точек, где модуль максимален - открыто (по доказанному), и замкнуто (по непрерывности). Да еще и непусто...
Ну, и доказав постоянство модуля, бабахнуть условия Коши-Римана...

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 02:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
DeBill в сообщении #1096325 писал(а):
Множество точек, где модуль максимален - открыто (по доказанному),

А вот не вижу доказанного.

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):
, и замкнуто (по непрерывности).

А это уж тупо неверно. Просто потому, что изначальная область ни разу не обязана быть замкнутой.

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):
бабахнуть условия Коши-Римана...

Которые тут уж и вовсе если в Киеве -- то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение03.02.2016, 02:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ewert
ewert в сообщении #1096329 писал(а):
А вот не вижу доказанного.


Виноват, я поверил ВАМ
ewert в сообщении #1096303 писал(а):
постоянство модуля в некоторой окрестности, допустим, очевидно


Хотя, может, и не зря поверил: ведь в основном все было сделано, а детали мы оставили Pulseofmalstrem

ewert в сообщении #1096329 писал(а):
DeBill в сообщении #1096325

писал(а):
, и замкнуто (по непрерывности).
А это уж тупо неверно. Просто потому, что изначальная область ни разу не обязана быть замкнутой.

Замкнуто - в относительной топологии, естесно. Вообще то я использовал совершенно стандартное рассуждение. Например, именно так доказывают теорему единственности.
ewert в сообщении #1096329 писал(а):
DeBill в сообщении #1096325

писал(а):
бабахнуть условия Коши-Римана...
Которые тут уж и вовсе если в Киеве -- то.

$f=u+iv, u^2+v^2=\operatorname{const}$ $\Rightarrow u    \cdot u_x+v \cdot v_x=0, u \cdot u_y+v \cdot v_y=0  $ Пусть $\operatorname{const}$ не равна 0. Добавим условия Коши-Римана. Получим (невырожденную) однородную систему на частные производные. Значит, все они равны нулю $ \Rightarrow f=\operatorname{const}$

-- 03.02.2016, 03:47 --

ЗЫ И неплохо бы извиниться за наезд не по делу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение04.02.2016, 01:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
DeBill в сообщении #1096335 писал(а):
ewert
ewert в сообщении #1096329 писал(а):
А вот не вижу доказанного.


Виноват, я поверил ВАМ
ewert в сообщении #1096303 писал(а):
постоянство модуля в некоторой окрестности, допустим, очевидно

А напрасно поверили, надо было и всего-то навсего подумать. Из "некоторой" ни разу не следует "любой". Очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип модуля. Помогите доказать.
Сообщение04.02.2016, 12:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ewert

ewert в сообщении #1096629 писал(а):
надо было и всего-то навсего подумать.
Из "некоторой" ни разу не следует "любой".

Или почитать:

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):
ewert в сообщении #1096312 писал(а):
от окрестностей ко всей области переходить в любом случае придётся,

Это - да. Можно , например, так. ...


-- 04.02.2016, 13:39 --

ewert
Мне кажется, фигней какой то мы занимаемся. Надо это прекращать - к полному неудовлетворению сторон.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group