Real solution

[man111]

The number of all real solution $(x,y)$ of the equation $16x^4+y^4+8x^2-2y^2-24xy+8=0$

[DeBill]

man111

Решений бесконечно много, ибо в точке $(\frac{1}{2},1)$ левая часть отрицательна (и,значит, у Вас целая кривая состоит их решений). А вот если вместо 8 написать 19, то решений будет всего 2...

[man111]

To DeBill , would you like to explain me in detail.

Thanks

[DeBill]

man111

Во первых, давйте упростим немного левую часть: сделаем замену $2x=t$. Многочлен (c неопределенной пока константой) примет вид;
$t^4 + y^4 + 2t^2- 2y^2 -12 ty +c_1$. Найдем его наименьшее значение. Для этого попробуем выделить полные квадраты (т.е., представить его в виде $(t^2-\alpha)^2 + (y^2 - \beta)^2 + (at-by)^2 +c_2$. Хочется: $c_2 =0$; но надо еще позабототься о том, что выражения в скобках могут обратиться в нуль одновременно ; для этого надо выполнение условия

$\alpha\cdot a^2 = \beta\cdot b^2$

Открывая скобки и приравнивая коэффициенты, получим (вместе с выписанным выше) систему из 4-х уравнений на $\alpha,\beta, a$ и $b$. Как ни странно, она решается:

$\alpha= \frac{-1+\sqrt{37}}{2}, \beta = \frac{1+\sqrt{37}}{2}$. Тогда $c_2=0$ при $c_1 = \alpha^2 + \beta^2 = 19 $

ВОССТАНОВИТЕ все пропущенные детали!

[man111]

Thanks Debill