Выпуклая функция

[inky]

Даны две выпуклые фукнции ${f}_{1}$ и ${f}_{2}$. Доказать, что $F(x) = \max ({f}_{1}, {f}_{2})$ тоже является выпуклой функцией.

Геометрически это понятно. Но надо доказать алгебраически. Преподаватель сказал, что через неравенство это легко доказывается, но не уточнил какое неравенство. Через $f(\lambda {x}_{1} + (1 - \lambda) {x}_{2}) \leq \lambda f({x}_{1}) - (1 - \lambda) f({x}_{2})$ не получается доказать. Подскажите, каким неравенством можно воспользоваться? Или есть какой нибудь другой способ это доказать?

[provincialka]

А чем вам это неравенство не подходит? Кстати,почему в правой части у вас "минус"? И какое значения принимает $\lambda$?

[inky]

ой, там плюс должен быть: $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$, $\lambda \in (0, 1)$. Я не могу представить себе как использовать это неравенство, если функцией является максимум из двух функций.

[VPro]

Дополнительно используйте очевидное свойство:
$\max \left(f_1, f_2\right)\leqslant \max \left(g_1, g_2\right), если $f_1\leqslant g_1$ и $f_2\leqslant g_2$.

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

\leqslant.

[inky]

Геометрически это означает что график секущей находится выше чем график функции. Но мне надо алгебраически доказать, никак не могу догнать как использовать неравенство, когда функцией является максимум их двух функций

[arseniiv]

Но вы же писали, что геометрически с максимумом всё ясно? Вот теперь постройте секущую и разберите, если нужно, какой из двух функций принадлежит каждый из двух кусков графика, которые пересекает секущая. После этого всё можно «конвертировать» в следствия из этого неравенства (только в уме покрутил без проверки на бумаге, но не видно, что может пойти не так).

(Для будущих посетителей темы: перед этим был мой пост, который я удалил как ответ на предыдущий удалённый. )

[ewert]

inky в сообщении #1096109 писал(а):

$f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$, $\lambda \in (0, 1)$

Так ведь тогда тем более $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leqslant \lambda \max\{f(x_1),g(x_1)\} + (1-\lambda) \max\{f(x_2),g(x_2)\}$. А функции, между прочим, равноправны.

[inky]

Понял. Всем спасибо за подсказки