2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 19:50 


28/12/10
13
Добрый день!

Помогите, пожалуйста, найти источники (желательно учебники/статьи на русском языке), в которых бы
обсуждалось определение средней кривизны поверхности как дивергенции ее нормали.
Сам ничего найти не смог.

Заранее большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
Как определена дивергенция, если поле нормалей определено только на самой поверхности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 21:17 


28/12/10
13
alcoholist в сообщении #1095921 писал(а):
Как определена дивергенция, если поле нормалей определено только на самой поверхности?

Вот и это меня смутило. Однако пишут https://en.wikipedia.org/wiki/Young%E2% ... e_equation

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7871

(Оффтоп)

Это не дивергенция нормали. Это дифференциальный оператор.
Если $n=(n_x,n,y,n_z)$ - нормаль в точке поверхности, то $n\cdot\nabla=n_x\frac\partial{\partial x}+n_y\frac\partial{\partial y}+n_z\frac\partial{\partial z}$. И т.д.
upd Что-то подумалось, что я не ту строчку расшифровываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
Straw_hat в сообщении #1095951 писал(а):
Однако пишут

так это в лоб, или через формулу Родрига

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 22:15 
Заслуженный участник


25/02/11
1695
Можно так. Пусть поверхность задана неявно уравнением $g(x)=0$, где $g$ — гладкая функция с неравным нулю градиентом на поверхности. Тогда $\bar n=\frac{\nabla g}{|\nabla g|}$ и $\mathop{\mathrm{div}} \bar n=\mathop{\mathrm{div}}\frac{\nabla g}{|\nabla g|}=(n-1)H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение01.02.2016, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
Vince Diesel
здесь, как я понимаю используется семейство поверхностей $g(x)=c$, поэтому вектор нормали определен в окрестности любой точки $x_0\in M=\{x\,:\,g(x)=0\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение02.02.2016, 00:20 
Заслуженный участник


25/02/11
1695
Да тут семейство и не нужно, главное, что функция $g$ определена в окрестности поверхности и можно брать производные по некасательным направлениям.

Upd. Хотя да, так определенная нормаль $n$ будет ортогональна семейству поверхностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна поверхности как дивергенция нормали
Сообщение02.02.2016, 01:40 
Заслуженный участник


23/07/08
8162
Харьков
Удивительно, что от выбора семейства результат не зависит, только от самой поверхности. Т.е. если уравнения $f(x)=0$ и $g(x)=0$ задают одну и ту же поверхность $M$, то
$\operatorname{div}\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\operatorname{div}\frac{\nabla g}{|\nabla g|}$ на $M$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group