Тонкости представления функции как множества.

[Elarium]

Здравствуйте! В ходе своей научной работы столкнулся с проблемой многозначности обратного отображения. А именно имеем отображение:

$x_{k+1}=f(x_k,\mathbf{a})$,

где $\mathbf{a}$ - набор (вектор) параметров системы; $x_k$ - состояние системы в $k$-ый момент времени.
Отображение, обратное данному не однозначно, то есть одному значению $x_{k+1}$ соответствуют несколько решений $x_k$. Потому возник вопрос корректного представления данного отображения на письме. В литературе, посвященной вопросу многозначных функций, как правило, встречается следующее представление:

$f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})=\{x_{k} \in X_k \left\lvert f(x_k,\mathbf{a})\in X_{k+1}, \mathbf{a} \in \mathbf{A}\}$.

Вопрос: могу ли я рассматривать $f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$ уже как готовое множество решений обратного отображения и выполнять операции над этим множеством? Например операцию пересечения с некоторым множеством $B$: $f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$\cap B$$. На мой взгляд такое представление не совсем корректно и может запутать. Потому, по-моему мнению, множество решений обратного отображения следует обозначить за $S_k \in X_k$ и ввести следующую запись:

$S_k=f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$.

Какой из вариантов более приемлем в записи? Также буду благодарен, если кто подскажет как более лучше выразить множество решений в случае многозначного обратного отображения. Спасибо.

[alcoholist]

1) лучше писать $f_{\mathbf a}(x)$, чтобы однозначно выглядело обратное отображение
2) если $X$ -- множество состояний системы, то можно обозначить $X(y)=f^{-1}_{\mathbf a}(y)=\{x\in X:f_{\mathbf a}(x)=y\}$

-- Пн фев 01, 2016 13:17:29 --

или набор состояний $X_k$ в $k$-ый момент времени определен независимо ни от чего?

[Elarium]

alcoholist в сообщении #1095790 писал(а):

1) лучше писать $f_{\mathbf a}(x)$, чтобы однозначно выглядело обратное отображение
2) если $X$ -- множество состояний системы, то можно обозначить $X(y)=f^{-1}_{\mathbf a}(y)=\{x\in X:f_{\mathbf a}(x)=y\}$

-- Пн фев 01, 2016 13:17:29 --

или набор состояний $X_k$ в $k$-ый момент времени определен независимо ни от чего?

Наверно Вас смутил параметр $a \in A$. Однозначность отображения не зависит от него. То есть при фиксированном $a \in A$ отображение $f^{-1}(x_k, \mathbf{a})$ также не однозначно. А $X_k$ тут пространство (возможных) состояний системы в $k$-ый момент времени.

[arseniiv]

(Начал писать свой ответ раньше, чем увидел сообщение alcoholist, так что может дублировать.)

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

$S_k \in X_k$

$S_k\subset X_k$. (Кстати, а что, множества возможных состояний системы для разных моментов времени могут отличаться? Если нет, то незачем писать $X_\text{индекс}$.)

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

$f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})=\{x_{k} \in X_k \left\lvert f(x_k,\mathbf{a})\in X_{k+1}, \mathbf{a} \in \mathbf{A}\}$.

Просто $\{x \in X_k \mid f(x,\mathbf a) = x_{k+1}\}$. $\mathbf a$ у вас свободно входит в обе части равенства, нечего его связывать. Индексы лишние тоже не красят изложение.

Вообще, прообраз определяется обычно только для функций одного аргумента. У вас де факто тоже функция одного аргумента, т. к. $\mathbf a$ — фиксированное. Путаница могла бы возникнуть только в определении того, какой из аргументов интересует, и можно её уменьшить, записывая $f_\mathbf a(x)$ вместо $f(\mathbf a, x)$: запись $f^{-1}_{\mathbf a}(x)$ совершенно однозначно читается.

(Оффтоп)

Формально, конечно, любая функция — это функция одного аргумента-кортежа, так что $f^{-1}(x')$ определено и выдаёт множество всех пар $(\mathbf a,x)$, отображающихся в $x'$. Если теперь оставить среди них только вторые элементы пар с первым аргументом каким-то данным $\mathbf a$, это и будет то, что вам нужно. Это просто для ясности, ничего нового в этом тексте не содержится.

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

Также буду благодарен, если кто подскажет как более лучше выразить множество решений в случае многозначного обратного отображения.

Непонятно, в чём загвоздка.

[Elarium]

arseniiv в сообщении #1095793 писал(а):

(Начал писать свой ответ раньше, чем увидел сообщение alcoholist, так что может дублировать.)

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

$S_k \in X_k$

$S_k\subset X_k$. (Кстати, а что, множества возможных состояний системы для разных моментов времени могут отличаться? Если нет, то незачем писать $X_\text{индекс}$.)

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

$f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})=\{x_{k} \in X_k \left\lvert f(x_k,\mathbf{a})\in X_{k+1}, \mathbf{a} \in \mathbf{A}\}$.

Просто $\{x \in X_k \mid f(x,\mathbf a) = x_{k+1}\}$. $\mathbf a$ у вас свободно входит в обе части равенства, нечего его связывать. Индексы лишние тоже не красят изложение.

Вообще, прообраз определяется обычно только для функций одного аргумента. У вас де факто тоже функция одного аргумента, т. к. $\mathbf a$ — фиксированное. Путаница могла бы возникнуть только в определении того, какой из аргументов интересует, и можно её уменьшить, записывая $f_\mathbf a(x)$ вместо $f(\mathbf a, x)$: запись $f^{-1}_{\mathbf a}(x)$ совершенно однозначно читается.

(Оффтоп)

Формально, конечно, любая функция — это функция одного аргумента-кортежа, так что $f^{-1}(x')$ определено и выдаёт множество всех пар $(\mathbf a,x)$, отображающихся в $x'$. Если теперь оставить среди них только вторые элементы пар с первым аргументом каким-то данным $\mathbf a$, это и будет то, что вам нужно. Это просто для ясности, ничего нового в этом тексте не содержится.

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

Также буду благодарен, если кто подскажет как более лучше выразить множество решений в случае многозначного обратного отображения.

Непонятно, в чём загвоздка.

Спасибо за ответ и сокращение определения функции.

Цитата:

Кстати, а что, множества возможных состояний системы для разных моментов времени могут отличаться?

И да, и нет. Если записать отображение в общем виде, то объем множеств один. В специфике моей задачи он может отличаться.

Цитата:

$S_k\subset X_k$

Действительно ли данная запись верна, в случае если $S_k=\{x^{1}_k, x^{2}_k,...\}$ есть некоторый набор элементов, а $X_k$ - компакт?

[alcoholist]

Ну тогда обозначьте $X_k(y)=f^{-1}_{\mathbf a}(y)=\{x\in X_k:f_{\mathbf a}(x)=y\}$

Elarium в сообщении #1095788 писал(а):

На мой взгляд такое представление не совсем корректно и может запутать. Потому, по-моему мнению, множество решений обратного отображения следует обозначить за $S_k \in X_k$ и ввести следующую запись:

$S_k=f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$.

Какой из вариантов более приемлем в записи? Также буду благодарен, если кто подскажет как более лучше выразить множество решений в случае многозначного обратного отображения. Спасибо.

Так вот я и предлагаю $X_k(y)$ -- указание на $y\in X_{k+1}$ здесь обязательно

Elarium в сообщении #1095802 писал(а):

Действительно ли данная запись верна, в случае если $S_k$ есть некоторый набор элементов, а $X_k$ - компакт?

Включение $X_k(y)\subset X_k$ верно по определению. А при чем тут компактность???

[arseniiv]

Elarium
Честно говоря, вы предоставили недостаточно данных, и компакт появляется совершенно внезапно без упоминания топологии, по отношению к которой он компакт. Но типы не сходятся, если посмотреть на то, что вы дали: $f^{-1}(\ldots)$ — это множество состояний, т. е. подмножество какого-то $X_\ldots$, и потому $S_\ldots$, как другое имя того же, тоже подмножество $X_\ldots$, а не элемент. (Оно могло бы быть одновременно и подмножеством, и элементом, но тогда вряд ли бы эта тема была создана. )

Elarium в сообщении #1095802 писал(а):

И да, и нет. Если записать отображение в общем виде, то объем множеств один. В специфике моей задачи он может отличаться.

Не очень понятно (надеюсь, кому-то другому яснее), но если вы уверены, что делаете всё верно — конечно, делайте.

[Elarium]

arseniiv в сообщении #1095811 писал(а):

Elarium
Честно говоря, вы предоставили недостаточно данных, и компакт появляется совершенно внезапно без упоминания топологии, по отношению к которой он компакт. Но типы не сходятся, если посмотреть на то, что вы дали: $f^{-1}(\ldots)$ — это множество состояний, т. е. подмножество какого-то $X_\ldots$, и потому $S_\ldots$, как другое имя того же, тоже подмножество $X_\ldots$, а не элемент. (Оно могло бы быть одновременно и подмножеством, и элементом, но тогда вряд ли бы эта тема была создана. )

Elarium в сообщении #1095802 писал(а):

И да, и нет. Если записать отображение в общем виде, то объем множеств один. В специфике моей задачи он может отличаться.

Не очень понятно (надеюсь, кому-то другому яснее), но если вы уверены, что делаете всё верно — конечно, делайте.

Постараюсь пояснить подробнее.

Разностное уравнение $x_{k+1}=f(x_k, \mathbf{a})$ осуществляет отображение $f:X \to X$, где $X$ есть отрезок $[0,1]$. То есть пространство $X$ является компактом. Данное отображение однозначно, то есть каждому элементу $x_k \in X$ оно ставит в соответствие элемент $x_{k+1} \in X$. Давайте забудем о существовании $X_k$, так как это частный и интимный случай . Всё дело в том, что я пытаюсь записать в приемлемом, для читателя, виде отображение обратное данному, то есть отображение $x_k=f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$, которое не является однозначным (даже при фиксированном $\mathbf{a}$). То есть одному элементу $x_{k+1} \in X$ ставится в соответствие более одно элемента $x_{k} \in X$. Множеством $S_k$ я хочу показать всё множество решений в $k$-ый момент времени. Таким образом, если мощность множества $|S_k|=1$, то уравнение $x_k=f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$ имеет единственное решение (крайне редкий случай, но такое бывает), иначе решений несколько.

[alcoholist]

Elarium
какая точка может быть начальной? То есть какому множеству принадлежит $x_0$

[Elarium]

alcoholist в сообщении #1095824 писал(а):

Elarium
какая точка может быть начальной? То есть какому множеству принадлежит $x_0$

$x_0 \in X$ соответственно. То есть любая точка из отрезка [0, 1]. Когда осуществляем отображение обратное, то тут начальным состоянием системы будет точка $x_N \in X$.

[alcoholist]

Elarium в сообщении #1095819 писал(а):

всё множество решений в $k$-ый момент времени

Его можно записать как $X^k=\{f^k_{\mathbf a}(x)\,:\,x\in X\}$ (здесь $f^k_{\mathbf a}(x)=f_{\mathbf a}\Bigl(f^{k-1}_{\mathbf a}(x)\Bigr)$ -- итерация)
А множество решений в $k$-ый момент времени, которые в $(k+1)$-ый дают $x_{k+1}$, это $X_k(x_{k+1})=f^{-1}_{\mathbf a}(x_{k+1})$

[Elarium]

alcoholist в сообщении #1095828 писал(а):

Elarium в сообщении #1095819 писал(а):

всё множество решений в $k$-ый момент времени

Его можно записать как $X^k=\{f^k_{\mathbf a}(x)\,:\,x\in X\}$ (здесь $f^k_{\mathbf a}(x)=f_{\mathbf a}\Bigl(f^{k-1}_{\mathbf a}(x)\Bigr)$ -- итерация)
А множество решений в $k$-ый момент времени, которые в $(k+1)$-ый дают $x_{k+1}$, это $X_k(x_{k+1})=f^{-1}_{\mathbf a}(x_{k+1})$

Спасибо, так мне больше нравится.

[arseniiv]

Elarium в сообщении #1095819 писал(а):

Таким образом, если мощность множества $|S_k|=1$, то уравнение $x_k=f^{-1}(x_{k+1},\mathbf{a})$ имеет единственное решение (крайне редкий случай, но такое бывает), иначе решений несколько.

Так это не проблема. Прообраз изначально возвращает целое множество — из одного ли, многих или нуля элементов. Так же вполне распространено брать образ или прообраз целых множеств — в результате простой итерацией взятия прообраза можно уйти так далеко, как требуется. Иначе говоря, можно просто написать $\text{множество}_1 = f^{-n}_{\mathbf a}(\text{множество}_2)$. И добавить при первом вхождении комментарий, что это $n$ прообразов подряд.