Помогите оценить хотя бы порядок значения 1-(1-0,5^x)^y

[DobriyDruid]

DeBill
Спасибо!
Если не ошибся, то оценка через т. Пуассона получается совсем просто:

$$\Pr \left( \exists \right) =1 - Pr_n(0) = 1 - \frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda} = 1 - e^{-\lambda}=1-e^{-np}=1-e^{-{2^{\mu-{2^\rho}}}}$$

т.е. результат, что подсказал

AlexValk в сообщении #1095726 писал(а):

$Pr(\exists)\approx1-\exp\left(-2^{\mu-2^\rho}\right)$.

Далее использую что подсказал

gris в сообщении #1095681 писал(а):

приближение экспоненты около нуля

$e^x \approx 1+x$
тогда
$Pr(\exists)\approx 1 - (1-2^{\mu-2^\rho}) \approx 2^{\mu-2^\rho}$
или даже (из какой умной книжки все эти формулы )?

AlexValk в сообщении #1095736 писал(а):

$1-\exp(-\varepsilon)<\varepsilon$, $\varepsilon>0$

тогда сразу
$Pr(\exists)< 2^{\mu-2^\rho}$

Учитывая, что эта же формула была в изначальном предположении

DobriyDruid в сообщении #1095613 писал(а):

$$\Pr \left( \exists \right) < \sum\limits_{i = 1}^{\rm M} {{{\left( {{\rm M}\Pr ( - )} \right)}^i}} \approx \frac{{{\rm M}\Pr ( - )}}{{1 - {\rm M}\Pr ( - )}} \approx {\rm M}\Pr ( - ) \leqslant {2^{ - {2^{\rho}} + \mu }}$$

получается:
1) исходная оценка подтвердилась, это хорошо
2) она не улучшилась, что жаль
3) зато указали как оценить ошибку

DeBill в сообщении #1096163 писал(а):

И ошибку Пуассон тоже дает (не превышает $np^2$. У Вас $n=2^{\mu}, p=2^{-2^{\rho}}$)

или

AlexValk в сообщении #1095726 писал(а):

Ширина интервала характеризуется неравенством $P_>-P_< < \exp\left(-2^{\mu-2^\rho}\right) 2^{-2^\rho}< 2^{-2^\rho}$

Хотя т.к. при подставляемых $\rho$ имеем $np<1$ - то первая предпочтительнее, $np^2 < 2^{-2^\rho}$

P.s. Большое спасибо все откликнувшимся в этой теме! Особенно за ответы gris, AlexValk, DeBill
Совершенно не ожидал такой быстрой помощи.