Фиксируем

.
Обозначим

множество всех перестановок порядка

.
Рассмотрим отображение

,
имеющее следующее определение:
![\begin{gather}
f( \alpha, x )[ i ] \overset{\mathrm {def}}{=}
\begin{cases}
x &\mbox{при} \ i = 1, \\
\alpha_i &\mbox{при} \ i > i_0, \\
\alpha_{i - 1} &\mbox{при} \ 1 < i \leqslant i_0,
\end{cases}
\end{gather} \begin{gather}
f( \alpha, x )[ i ] \overset{\mathrm {def}}{=}
\begin{cases}
x &\mbox{при} \ i = 1, \\
\alpha_i &\mbox{при} \ i > i_0, \\
\alpha_{i - 1} &\mbox{при} \ 1 < i \leqslant i_0,
\end{cases}
\end{gather}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/5/675704929b6545140a13504b3bbcc85282.png)
где

,

и
![$i_0 : \alpha[i_0] = x$ $i_0 : \alpha[i_0] = x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/1/971bce560b30b1645f77fe65303ca47d82.png)
Смысл этого отображения очень простой. Будем считать, что у нас есть

книг, с названиями

, а также стопка

этих книг. Мы вытаскиваем из стопки книгу

и кладем ее наверх стопки.
Именно это формализовано в определении

, данном выше.
Вопрос: можно ли ввести такую алгебраическую структуру, чтобы

выступало в роли скаляра? (То есть

--- <<домножение на скаляр>>)
Прямое рассмотрение группы перестановок и введение на ней операции домножения на скаляр не удается, так как

оказывается не дистрибутивной по первому аргументу.
UPD: да и вообще хоть какую-нибудь разумную структуру...