Слабая* сходимость

[vhz]

Пусть $\Omega $ — открытая ограниченная область в ${R^m}$, ${A_n}$ — последовательность измеримых (по Лебегу) подмножеств $\Omega $, ${\chi _{{A_n}}}\left( x \right)$ — характеристическая функция множества ${A_n}$ . Правильно ли я понимаю, что:
а) ${\chi _{{A_n}}} \in {L^\infty }\left( \Omega \right)$;
б) слабая со звёздочкой сходимость в ${L^\infty }\left( \Omega \right)$ последовательности ${\chi _{{A_n}}}\left( x \right)$ к некоторой функции $g\left( x \right)$ означает, что

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_\Omega {{\chi _{{A_n}}}\left( x \right)f\left( x \right)dx} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_{{A_n}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_\Omega {g\left( x \right)f\left( x \right)dx} $ $\forall f \in {L^1}\left( \Omega \right)$?

[Brukvalub]

Нет, вы указали не то пространство, которое сопряжено к $L^\infty$

[vhz]

Brukvalub, огромное спасибо за ответ! В статье, которую я пытался понять, было написано буквально следующее: ${\chi _{{A_n}}} \to g$ weakly* in ${L^\infty }\left( \Omega \right)$. Я рассуждал следующим образом: слабая* сходимость — это сходимость последовательности элементов сопряжённого пространства на каждом элементе основного пространства, следовательно, должно быть ${\chi _{{A_n}}} \in {L^\infty }\left( \Omega \right)$ ; ${L^\infty }\left( \Omega \right)$ — пространство, сопряжённое к ${L^1}\left( \Omega \right)$, следовательно, основным пространством в данном случае является ${L^1}\left( \Omega \right)$.
Либо речь здесь идёт о том, что ${\chi _{{A_n}}} \in {\left( {{L^\infty }\left( \Omega \right)} \right)^\prime }$? В таком случае в п. б) нужно лишь заменить $\forall f \in {L^1}\left( \Omega \right)$ на $\forall f \in {L^\infty }\left( \Omega \right)$?

Честно говоря, о вообще не вполне понимаю, каким из пространств ${L^p}\left( \Omega \right)$ и им сопряжённым принадлежит, а каким не принадлежит характеристическая функция ${\chi _A}$ произвольного измеримого подмножества $A$ множества $\Omega $ . Не чувствую я этих пространств совершенно.

[kp9r4d]

Если $A$ имеет конечную меру - то всем принадлежит, если бесконечную, то только $L^{\infty}$, что следует непосредственно из определений. Может лучше на саму статью ссылку кинете? А то вне контекста, лично мне, не сильно понятно о чём речь.

[vhz]

https://drive.google.com/folderview?id= ... sp=sharing
Книга, с. 46.