2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение29.01.2016, 16:27 
Аватара пользователя
Нужно привести пример банаховой алгебры с единственным (нетривиальным) максимальным идеалом. Есть подсказка, что пример нужно искать среди подалгебр $\mathbb{C}[[z]]$ таких, что выполняется $\sum_n |c_n| w_n < \infty$ для некоторого положительного специально подобранного ряда $w_n$. Не выходит ничего придумать уже второй день.

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение29.01.2016, 21:37 

(Оффтоп)

Сходу не напишу, но на первый взгляд трудности не видно: для $\mathbb{C}[[z]]$ можно даже формулку написать для коэфициентов обратного ряда. Условие, что банахова подалгебра такова вида локальна эквивалентно тому, что множество необратимых элементов "образует" идеал. Тоже ведь это условие несложно выписать.

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение30.01.2016, 01:53 
Аватара пользователя
А норму каким образом вводить?

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение30.01.2016, 05:18 
Аватара пользователя
https://en.wikipedia.org/wiki/Disk_algebra

-- Пт, 29 янв 2016 19:20:12 --

Хоть я и не знаю, можно ли просто описать норму через степенные ряды, но необратимые элементы в ней устроены довольно просто.

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение30.01.2016, 10:34 
Аватара пользователя
Рассмотрите алгебру бесконечных комплексных формальных степенных рядов $r=c_0+c_1z+c_2z^2+...$ с обычными операциями и нормой$ ||r||=\sum_{i=1}^{\infty} | c_i|a_i$ ,где $a_i$ образуют положительную последовательность с мультипликативным условием $a_{i+k}\le a_i\cdot a_k $. Докажите, что при наложении доп. условия ${a_i}^{\frac1i}=0(1)$ описанная банахова алгебра имеет только один максимальный идеал, опишите его явно.
(для g______d: в аспирантские годы я сдавал Е.А. Горину отчет по книге Гамелина "равномерные алгебры" и перед этим хорошенько эту книгу проработал. Не упомню конструкции диск-алгебры с единственным максимальным идеалом, более того, сильно подозреваю, что это попросту невозможно ).

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение30.01.2016, 16:01 
Аватара пользователя
Да, что-то я торможу. В алгебре по моей ссылке полно максимальных идеалов.

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение03.02.2016, 01:32 
Аватара пользователя
Brukvalub
Да, спасибо, всё действительно оказалось просто. Чтобы доказать единственность максимального идеала для последовательности, например $a_n=2^{-2^{n}}$ достаточно вспомнить, что в коммутативной унитальной банаховой алгебре максимальный идеал - это ядро некоторого гомоморфизма $\varphi$ и наоборот. Если $\varphi(x) \neq 0$ (здесь $x$ - это элемент $\mathbb{C}[[z]]$, а не свободный терм), то гомоморфизм будет не well defined на элементе $\sum_n \frac{x^n}{\varphi(x)^n}$ (этот элемент принадлежит алгебре при любом $\varphi(x)$ как раз в силу сверхэкспоненциального убывания $a_n$), а если же $\varphi(x) = 0$, то оно даст как раз единственный максимальный идеал - тот, который $c_0 = 0$.

 
 
 
 Re: Локальная банахова алгебра без делителей нуля
Сообщение03.02.2016, 02:33 
Аватара пользователя
Поправка:
Цитата:
здесь $x$ - это элемент $\mathbb{C}[[x]]$

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group