Почему оператор импульса это производная волновой функции?

[Osmiy]

Почему так получается, что оператор импульса это первая производная (для одномерного случая) волновой функции по координате?
Раньше как то принимал за веру, сейчас заинтересовало. Обычно оператор импульса в книгах преподноситься как данность, но возможно где-то и был строгий вывод его выражения, а я не обратил внимание.
В Вики, например, берется уравнение плоской волны, которое является решением уравнения Шредингера, ищется производная и сравнивается с выражением для импульса волны де Бройля. Откуда и получается, что оператор импульса равен с точностью до множителя производной по координате. Но в уравнении Шредингера уже заложено выражение оператора кинетической энергии (который имеет известную связь с оператором импульса), поэтому такое объяснение меня не устраивает.

Интуитивно мне понятно, что, если взять две точки (маленькие элементы объема) с разными вероятностями нахождения в них частицы (вероятность связана с амплитудой вероятности, т.е. с самой волновой функцией), то для частицы будет естественнее двигаться из точки с меньшей вероятности в точку с большей вероятностью нахождения. И чем больше разница вероятности и меньше между точками расстояние, тем более охотнее частица будет так двигаться. Т.е. тут уже прослеживается связь с производной. Но хотелось бы более строгий математически вывод посмотреть.

[Georgii]

Я это понимаю так - есть уравнение Шрёдингера, есть его решение в виде плоских волн в отсутствии внешних сил, действующих на электрон (возьмём его, для примера). Это решение выглядит как $\exp(px)$ (коэффициенты опустим). Оператор импульса должен быть таким, что действуя на эту экспоненту, он должен взять из неё $p$, и опустить вниз в виде множителя. Следовательно, надо экспоненту продифференцировать по $x$ и добавить коэффициентов для соблюдения размерности.
Это просто вытекает из математического свойства решений ур. Шрёдингера.
Выводить же оператор импульса из каких либо физических соображений аля классические неверно, так как у квантовой частицы нет траектории, а следовательно применять к ней классические динамические понятия в лоб нельзя.

[alcoholist]

Georgii в сообщении #1095026 писал(а):

решение в виде плоских волн

да, свойство преобразования Фурье

[physicsworks]

В любом нормальном учебнике по квантовой механике есть вывод оператора импульса в координатном представлении. На выбор: Мессиа, Сакураи, Ландау и Лифшиц, Фейнман, Киселев, и т.д. Выводить можно по-разному: 1) пользуясь интерпретацией решения уравнения Шредингера в виде плоской волны; 2) используя преобразование Фурье (почти то же самое, что первое, но не совсем); 3) конструируя этот оператор из производной от среднего значения координаты, пользуясь уравнением Шредингера; 4) постулируя каноническое коммутационное соотношение и выводя исходя из него; 5) используя оператор инфинитезимальной трансляции и то, что импульс есть генератор трансляций; 6) напрямую из принципа соответствия (см. Киселева). Некоторые из этих "выводов", конечно, притянуты за уши. Наверняка есть и другие выводы. Как говорил классик:

Feynman писал(а):

every theoretical physicist who is any good knows six or seven different theoretical representations for exactly the same physics

[amon]

Например, поэтому.