Геометрическое неравенство

[arqady]

Пусть $X$ - точка в плоскости треугольника $ABC$, а $M$ - центр тяжести этого треугольника. Докажите, что

$$\frac{AX^3}{AB\cdot AC}+\frac{BX^3}{AB\cdot BC}+\frac{CX^3}{AC\cdot BC}\geq3MX$$

Это было на нашем отборе на IMC. Придумал Лев Радзивиловский.

[Skeptic]

Что будет, если $X=M$?

[NSKuber]

Skeptic
Ничего страшного, получится очевидно верное неравенство, так как правая часть обратится в ноль.

[DeBill]

arqady
Ну у Вас и шуточки - "геометрическое" неравенство...
Мой друг придумал замечательное доказательство:

Имеет место тождество:
$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=a+b+c$

(его можно проверить ручками. А можно посмотреть в теме topic104732.html , где есть куча таких тождеств, и разнообразные их доказательства).

Рассмотрим вектора $a=AX, b=BX, c=CX$, тогда $3MX=a+b+c$. Считая вектора комплексными числами, из тождества и "модуль суммы не больше суммы модулей" получим требуемое.

ЗЫ Неравенство становится равенством, если треугольник - прямоугольный, а точка Х - в вершине прямого угла. Поэтому НИКАКИЕ неравенства о средних, Йенсен и прочие к цели не ведут.

[arqady]

Именно это и имелось в виду!
Забавно, что эта идея одноразовая, поскольку факторизация других многочленов Шура или тривиальная или громоздкая.