Компактность оператора

[demolishka]

Задан оператор $A : C^1[0;1] \to L^1[0;1]$ формулой $(Ax)(t) = \frac{x(t^2)}{\sqrt{t}}.$ Необходимо проверить его на компактность.
Интуиция подсказывает, что он не компактный, но непонятно какую последовательность функций выбирать.

[Brukvalub]

Найти "плохую" последовательность вряд ли удастся:
Компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме. Критерий слабой сходимости в $C^1[0;1]$: равномерная ограниченность и поточечная сходимость к пределу. Но тогда в $ L^1[0;1]$ по т. Лебега непременно возникнет сходимость по норме, так что на этом пути противоречие не получить.
Возможно, в образе этого оператора удастся найти бесконечномерное замкнутое подпространство, что противоречит компактности?
И еще, может, этот оператор - компактный?

[fjhn]

Давно уже не занимался математикой, если что-то не так скажу прошу меня извинить. Мне кажется, оператор должен быть компактным по тривиальной причине, просто потому что что компактно вложение $Id:C^1[0,1] \to C[0,1]$.

Если же оператор рассматривать как действующий из $C[0,1]$, тогда компактности действительно быть не должно. Контрпример строится в этом случае также просто, на основе последовательности функций Радемахера.

[demolishka]

fjhn, Вы конечно же правы. Здесь тот редкий случай когда $id$ - компактный оператор. К решению должны были подтолкнуть рассуждения наподобие тех, которые провел Brukvalub, и тот факт, что для непрерывности оператора $A$ достаточно и равномерной нормы.