Линейный функционал в линейном нормированном пространстве

[winmord]

Доброго времени суток! Помогите пожалуйста доказать, что для любого линейного функционала $\ f $ в линейном нормированном пространстве $\ X $ множество точек $\ \left\lbrace x:f(x)=\lambda\right\rbrace $ или замкнуто, или всюду плотно в $\ X $.

Я предполагаю, что нужно показать, что ядро всякого ненулевого линейного функционала является максимальным по включению подпространством не совпадающим со всем пространством. Правильно ли это? Если да, то каким образом сделать?

[Brukvalub]

winmord в сообщении #1094501 писал(а):

ядро всякого ненулевого линейного функционала является максимальным по включению подпространством не совпадающим со всем пространством. Правильно ли это?

Это верно в следующем смысле: все пространство является линейной оболочкой ядра и некоторого вектора, на котором функционал отличен от нуля.
Вы движетесь в верном направлении: от ядра тривиально перейти к "сдвинутому" ядру, про которое вас и спрашивают.

[DeBill]

winmord

С ограниченным функционалом все просто, не правда ли?
Ну а дальше Вам, может, поможет факт, который у вас наверняка был:
"ограничен" равносильно "ограничен на ЛЮБОМ шаре"