2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение27.01.2016, 00:40 


15/03/14
22
То есть нужно, построить две инъективных функции: $P \rightarrow \mathbb_{R}$ и $ \mathbb_{R} \rightarrow P$?
Пока не могу понять как это сделать... Буду думать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение27.01.2016, 00:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10575
Crna Gora
Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности $n_1, n_2, ...$ бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-я цифра после запятой равна нулю, если $k$ принадлежит последовательности, и единице, если нет.

Интересно, что таким образом «бесплатно» исключаются «нехорошие» дроби, у которых, начиная с некоторой цифры, идут одни единицы, вроде $0{,}100(1)=0{,}101$, потому что последовательность неограничена. Так что соответствие между множеством таких последовательностей и множеством вещественных чисел $x\in[0,1)$ будет взаимно однозначным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение27.01.2016, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
hanik в сообщении #1094522 писал(а):
Someone в сообщении #1094330 писал(а):
без ограничения общности можно считать, что $A\cap B=\varnothing$

Я не очень понимаю выражение "без ограничения общности". Здесь говорится про частный случай объединения, разве это не ограничение общности?
Нет, не ограничение:
Someone в сообщении #1094330 писал(а):
Поскольку $A\cup B=(A\setminus B)\cup B$
Brukvalub в сообщении #1094523 писал(а):
Попробуйте позвать дедушек Кантора с Бернштейном.
Мне кажется, что не стóит.

hanik в сообщении #1094522 писал(а):
Вот...
Что "вот"? Если Вы думаете, что из этого следует, что мощность $P$ равна континууму, то ошибаетесь.

svv в сообщении #1094532 писал(а):
Никак не поможет такая идея?
Хорошая идея. А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности $n_1<n_2<n_3<\ldots$ поставить в соответствие непрерывную дробь $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ (если натуральный ряд начинается с нуля, то $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 21:48 


15/03/14
22
Всем спасибо за ответы.
svv в сообщении #1094532 писал(а):
Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности $n_1, n_2, ...$ бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-я цифра после запятой равна нулю, если $k$ принадлежит последовательности, и единице, если нет.

Я думаю что этот ответ решает задачу, потому как нам нужно сопоставить каждой последовательности бесконечную дробь, но не вещественное число. Поэтому если последовательности $1, 2, 3, ...$ сопоставить дробь $0,111...$, то тогда все ок. Но если бы в условии задачи нужно было сопоставить вещественному числу, то не получилось, потому что $0,111...$ не определяет уникально вещественное число.

Someone в сообщении #1094534 писал(а):
А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности $n_1<n_2<n_3<\ldots$ поставить в соответствие непрерывную дробь $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ (если натуральный ряд начинается с нуля, то $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$).

Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число $q$, такое что каждый знак дроби принимает значение $\{0,...,q-1\}$. Но разницу между соседними элементами последовательности можно сделать большей любого $q$. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 22:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
hanik в сообщении #1094905 писал(а):
потому что $0,111...$ не определяет уникально вещественное число.
Это как? Это же единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 22:47 


15/03/14
22
Я понял почему.
svv в сообщении #1094532 писал(а):
Интересно, что таким образом «бесплатно» исключаются «нехорошие» дроби, у которых, начиная с некоторой цифры, идут одни единицы, вроде $0{,}100(1)=0{,}101$, потому что последовательность неограничена.

Никакой последовательности не может соответствовать конечная дробь, значит каждая дробь соответствует только одной последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 23:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10575
Crna Gora
На всякий случай поясню подробнее. Конечным двоичным дробям соответствуют последовательности, у которых, начиная с некоторого места, натуральные числа идут подряд, без пропусков.

Так, конечная двоичная дробь $0{,}101$ из моего примера может быть записана в виде бесконечной двумя способами:
$0{,}101000000...$
$0{,}100111111...$
Первому способу соответствует бесконечная последовательность ($2,4,5$, далее все).
Второму — никакая, так как ($2,3$) — последовательность конечная и потому не годится.
Но мы ведь и так обычно предпочитаем первый способ, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение29.01.2016, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
hanik в сообщении #1094905 писал(а):
Поэтому если последовательности $1, 2, 3, ...$ сопоставить дробь $0,111...$
Вы невнимательно прочитали то, что предложил svv.

hanik в сообщении #1094905 писал(а):
Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число $q$, такое что каждый знак дроби принимает значение $\{0,...,q-1\}$.
Очевидно, что Вы не знаете, что такое непрерывная дробь. Но это не к спеху. Идея svv проще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group