Всем спасибо за ответы.
Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности
![$n_1, n_2, ...$ $n_1, n_2, ...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/5/e651627dcd82248509cf0080c7cd427a82.png)
бесконечную двоичную дробь, у которой
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-я цифра после запятой равна нулю, если
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
принадлежит последовательности, и единице, если нет.
Я думаю что этот ответ решает задачу, потому как нам нужно сопоставить каждой последовательности бесконечную дробь, но не вещественное число. Поэтому если последовательности
![$1, 2, 3, ...$ $1, 2, 3, ...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/6/ef6fdbb11c200bd2d8c0c9f14074836b82.png)
сопоставить дробь
![$0,111...$ $0,111...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/8/b2807b5368032840c6a21c9d4bc0988c82.png)
, то тогда все ок. Но если бы в условии задачи нужно было сопоставить вещественному числу, то не получилось, потому что
![$0,111...$ $0,111...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/8/b2807b5368032840c6a21c9d4bc0988c82.png)
не определяет уникально вещественное число.
А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности
![$n_1<n_2<n_3<\ldots$ $n_1<n_2<n_3<\ldots$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/e/00e887baa8757dba4ec3084184d0d4a982.png)
поставить в соответствие непрерывную дробь
![$[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/3/aa348d3e25df3c9881db9fbad6291a5982.png)
(если натуральный ряд начинается с нуля, то
![$[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/f/40f5f3873009f0bbeba2ac380095785882.png)
).
Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
, такое что каждый знак дроби принимает значение
![$\{0,...,q-1\}$ $\{0,...,q-1\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/a/cfae0bb99f6cc9147e9b114b730f449282.png)
. Но разницу между соседними элементами последовательности можно сделать большей любого
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
. Правильно?