2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Порядок неразложимой группы
Сообщение25.01.2016, 19:43 


03/06/12
2047
Здравствуйте! Скажите, пожалуйста. Вот дана конечная неразложимая в прямое произведение группа $G$. Верно ли тогда, что ее порядок есть только вида $p^{\alpha}$, где $p$-простое число, т.е. он не может иметь вид, скажем, $p^{\alpha}q^{\beta}$ или $p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}$? Я тут прикинул, вроде, да, это утверждение доказуемо (через теорему Силова).

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок неразложимой группы
Сообщение25.01.2016, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну вот например $S_n$ не раскладывается в прямое произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок неразложимой группы
Сообщение25.01.2016, 21:24 


03/06/12
2047
Ну тогда я ничего не понимаю. Смотрите. Допустим, к примеру, порядок неразложимой группы $G$ есть $p^{\alpha}q^{\beta}$, где $p$ и $q$- различные простые числа. По первой теореме Силова в группе $G$ имеются подгруппы $A$ и $B$ порядков $p^{\alpha}$ и $q^{\beta}$ соответственно. Порядки элементов $A\cap B$ должны, с одной стороны, делить $p^{\alpha}$, а, с другой стороны, они должны делить $q^{\beta}$, что, ввиду взаимной простоты $p$ и $q$, возможно только в одном случае: если он равен 1. Значит, $A\cap B=E$. А значит, я могу составить прямое произведение подгрупп $A$ и $B$. Ну тогда количество элементов этого прямого произведения есть $p^{\alpha}q^{\beta}$, а, значит, $G=A \cdot B$ и группа $G$ оказалось разложимой, вопреки предположению. Тогда, получается, в этом рассуждении где-то содержится ошибка, только я ее не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок неразложимой группы
Сообщение25.01.2016, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Sinoid в сообщении #1094257 писал(а):
Значит, $A\cap B=E$. А значит, я могу составить прямое произведение подгрупп $A$ и $B$. Ну тогда количество элементов этого прямого произведения есть $p^{\alpha}q^{\beta}$, а, значит, $G=A \cdot B$ и группа $G$ оказалось разложимой, вопреки предположению.

Для некоммутативных групп это неверно. Если есть две подгруппы с тривиальным пересечением, это не значит, что их произведение прямое. Для того, чтобы оно было прямым, надо еще, чтобы элементы групп коммутировали друг с другом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок неразложимой группы
Сообщение25.01.2016, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Sinoid в сообщении #1094215 писал(а):
он не может иметь вид, скажем,... $p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}$?

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок неразложимой группы
Сообщение26.01.2016, 20:27 


03/06/12
2047
Brukvalub в сообщении #1094269 писал(а):
он не может иметь вид, скажем,... $p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}$?
Почему?

Я же выше написал, почему мне так показалось. Да я хотел применить рассуждения в духе вот этой темы для доказательства теоремы Ремака, но не то, совсем не то. Спасибо всем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group