2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение25.01.2016, 19:33 


15/09/15
9
Здравствуйте! В тупик поставила задача по физике, точнее чисто математическая часть.
Изображение

Непонятно, как они пришли к выводу о том, что rd$\alpha$ есть rd$\alpha$ :? Куда копать? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение25.01.2016, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Длина дуги в $a$ радиан равна $ra$, а при малых углах длина хорды приближённо равна длине дуги (плюс о малое от неё). То есть первый замечательный предел. Может быть, дело в этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение25.01.2016, 19:55 


15/09/15
9
Благодарю, вот теперь всё прояснилось :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение25.01.2016, 20:53 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Не сказал бы, что здесь обязательно вводить углы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 19:43 


15/09/15
9
Предложите ваш вариант решения, мне интересно

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266

(Оффтоп)

Kevinnorton в сообщении #1094212 писал(а):
Непонятно, как они пришли к выводу о том, что $rd\alpha$ есть $rd\alpha$

Гм... А что, на этот вопрос есть другие точки зрения? Равенство уже не рефлексивно?

Kevinnorton, знаки долларов правильнее ставить по краям формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Kevinnorton, можно я предложу вариант решения? Направим ось $x$ вдоль нити от середины направо. Линейная плотность заряда $Q/l$. Исходя из симметрии картинки Сила, действующая на единичный заряд в точке $A$ из точек $x$ и $-x$, равна $dF=2k\dfrac {1\cdot Q/l\cdot dx}{r_0^2+x^2}\cdot \dfrac {r_0} {\sqrt{ r_0^2+x^2}}$

Тогда $\displaystyle |E|=\int\limits_0^{l/2}dF= \dfrac{2kQr_0}{l}\int\limits_0^{l/2} (r_0^2+x^2)^{-3/2}dx$

Написал, не приходя в сознание. Хотелось бы знать — верно ли?
При взятии интеграла всё равно не обойтись без замены переменной, а угол незримо присутствует при проецировании силы.
:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266
gris в сообщении #1095153 писал(а):
При взятии интеграла всё равно не обойтись без замены переменной

А интегрировать сразу по углу всё-таки проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
На проще, конечно, только вопрос был, как обойтись без угла. А я правильно написал? Присмотрелся, а интеграл почти табличный (?).
svv, а Ваш способ каков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 22:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Мой вариант близок к Вашему. :!: Осторожно, СГС. Обозначим линейную плотность заряда $\sigma=\frac Q {\ell}$. Сначала найдём потенциал на прямой $x=z=0$ как функцию $y$:
$\varphi=\int\limits_{L}\dfrac{dq}r=\int\limits_{-\ell/2}^{+\ell/2}\dfrac{\sigma dx}{\sqrt {x^2+y^2}}=\sigma\left.\ln(\sqrt{x^2+y^2}+x)\right|_{-\ell/2}^{+\ell/2}$
Ведь о потенциале тоже спрашивается в задаче.

Теперь находим $E_y=-\frac{\partial\varphi}{\partial y}$.
Ну, а $E_x$, как Вы уже говорили, при $x=0$ исчезает в силу симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266
gris в сообщении #1095163 писал(а):
А я правильно написал?

Вы всерьёз спрашиваете? :roll: Правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 22:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Мой интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+y^2}}$ подстановкой $x=y\sh t$ превращается в $\int dt$ (безобразие! :P )
Правда, неплохо откуда-нибудь знать, что
$\operatorname{arsh}u=\ln(\sqrt{u^2+1}+u)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266
svv в сообщении #1095174 писал(а):
Мой интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+y^2}}$ подстановкой $x=y\sh t$ превращается в $\int dt$ (безобразие! :P )

А если интегрировать по углу, то получаем сразу без всяких подстановок $\int\cos \alpha d\alpha$.
Считать ли это безобразием? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение29.01.2016, 23:14 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Так, понятно, мы с gris линейники, а Mihr угловик. :|
Ну, давайте считать, что есть несколько неплохих решений задачи. :D
Интересно ещё спросить Kevinnorton, кажется ли ему интегрирование по отрезку концептуально более понятным, несмотря на возможную чуть большую сложность вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по углу, вывод формулы
Сообщение30.01.2016, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266

(Оффтоп)

svv в сообщении #1095182 писал(а):
Так, понятно, мы с gris линейники, а Mihr угловик.

Скорее, просто халявщик... :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group