Производная Фреше

[diga011]

Найти производную Фреше функционала $F:C^1[a,b]\to R$ в произвольной точке $x_0(t)$

$$F(x)=\int\limits_{a}^{b}(x^2(s)+x'^2(s))ds$$

($C^1[a,b]$ - непрерывно дифференцируема на $[a,b] $)

Сделал так:

$F(x+h)-F(x) = \int\limits_{a}^{b}((x+h)^2(s)+(x+h)'^2(s))ds-\int\limits_{a}^{b}(x^2(s)+x'^2(s))ds = \int\limits_{a}^{b}(x^2(s)+2x(s)h(s)+h^2(s)+x'^2(s)+2x'(s)h'(s)+h'^2(s))ds-\int\limits_{a}^{b}(x^2(s)+x'^2(s))ds = \int\limits_{a}^{b}(2x(s)h(s)+h^2(s)+2x'(s)h'(s)+h'^2(s))ds = $

Что дальше нужно делать? как мне получить ответ?
Спасибо

[Brukvalub]

просвещайтесь.

[diga011]

Brukvalub в сообщении #1093886 писал(а):

просвящайтесь.

т.е. выделить линейную часть она и есть производная?

[Brukvalub]

Да.

[diga011]

Brukvalub в сообщении #1093898 писал(а):

Да.

а что с производной делать? и где именно применяется условие непрерывности дифференцируемости?

[Brukvalub]

Прочтите рекомендованной мной вам пособие. В нем все объяснено.

[diga011]

Brukvalub в сообщении #1093904 писал(а):

Прочтите рекомендованной мной вам пособие. В нем все объяснено.

получил следующее:

$$\int\limits_{a}^{b}2x(s)h(s)+2x'(b)h(b)-2x'(a)h(a)-\int\limits_{a}^{b}(2x'(s))'h(s)ds + \int\limits_{a}^{b}(h'^2(s)+h^2(s))ds$$

отсюда можно выделить линейную часть относительно $h(s)$
как обосновать что $\omega(x,h)= 2x'(b)h(b)-2x'(a)h(a) + \int\limits_{a}^{b}(h'^2(s)+h^2(s))ds$?

я так понимаю нужно проверить: $(\frac{(||\omega(x,h)||)}{||h||})\to 0$ но у меня не получается. Я в правильном направлении?

[NSKuber]

Что-то у вас формулы поехали.
А разве слагаемое

diga011 в сообщении #1093961 писал(а):

$$2x'(b)h(b)-2x'(a)h(a)$$

не является линейным по $h$?
Можно было по частям и не интегрировать, а из выражения в первом сообщении увидеть, что там линейно по $h$ (и то можно выделить в результат действия функционала $A$ - производной).

[diga011]

NSKuber в сообщении #1093969 писал(а):

не является линейным по $h$?

да является, что то не учел его.
то бишь ответ:

$$\int\limits_{a}^{b}[2x(s)h(s)-(2x'(s))'h(s)]ds+2x'(b)h(b)-2x'(a)h(a)$$

?

NSKuber в сообщении #1093969 писал(а):

Можно было по частям и не интегрировать

да понял,в принципе можно было сразу записать не интегрируя, откинув квадраты

-- 24.01.2016, 23:25 --

а не должна ли

$$2x'(b)h(b)-2x'(a)h(a)$$

обращаться в ноль в граничных точках?

[diga011]

т.о. пришел к следующему:
$F(x+h)-F(x) = \int\limits_{a}^{b}[(x+h)^2(s)+(x+h)'^2(s)]ds-\int\limits_{a}^{b}[x^2(s)+x'^2(s)]ds = \int\limits_{a}^{b}[x^2(s)+2x(s)h(s)+h^2(s)+x'^2(s)+2x'(s)h'(s)+h'^2(s)]ds-\int\limits_{a}^{b}[x^2(s)+x'^2(s)]ds = \int\limits_{a}^{b}[2x(s)h(s)+h^2(s)+2x'(s)h'(s)+h'^2(s)]ds = \int\limits_{a}^{b}[2x(s)h(s)+2x'(s)h'(s)]ds+\int\limits_{a}^{b}[h'^2(s)ds+h^2(s)]ds$
т.к.
$\int\limits_{a}^{b}[h'^2(s)ds+h^2(s)]ds\leqslant\max\limits_{a\leqslant x\leqslant b}|h'^2(s)+h^2(s)|(b-a)=(b-a)\left\lVert h'^2(s)+h^2(s)\right\rVert\leqslant (b-a)\left\lVert h'^2(s)\right\rVert+ (b-a)\left\lVert h^2(s)\right\rVert\to0$

то решение:
$F'(x)= \int\limits_{a}^{b}[2x(s)h(s)+2x'(s)h'(s)]ds$

правильно?

[Otta]

Почти.
Все-таки $h\in C^1$. Наведите порядок с нормами.

diga011 в сообщении #1093989 писал(а):

$\int\limits_{a}^{b}[h'^2(s)ds+h^2(s)]ds\leqslant\max\limits_{a\leqslant x\leqslant b}|h'^2(s)+h^2(s)|(b-a)=(b-a)\left\lVert h'^2(s)+h^2(s)\right\rVert\leqslant (b-a)\left\lVert h'^2(s)\right\rVert+ (b-a)\left\lVert h^2(s)\right\rVert\to0$

И что Вам даст стремление этого добавка к нулю? Линейная часть приращения тоже стремится к нулю, и что?
Что на самом деле нужно было?

И ограниченность оператора производной тоже, наверное, нужна, а?

[diga011]

Otta в сообщении #1094015 писал(а):

Все-таки $h\in C^1$. Наведите порядок с нормами.

а что с нормами не так?

Otta в сообщении #1094015 писал(а):

И что Вам даст стремление этого добавка к нулю?

по определению, остаточный член должен быть бесконечно малым

Otta в сообщении #1094015 писал(а):

И ограниченность оператора производной тоже нужна

Нужна, только не особо могу понять где и каким образом можно его использовать..

[Otta]

diga011 в сообщении #1094063 писал(а):

а что с нормами не так?

А чему равна $\|h'\|_{C^1}$?

diga011 в сообщении #1094063 писал(а):

по определению, остаточный член должен быть бесконечно малым

То есть $o(1)$? Вы уверены?

diga011 в сообщении #1094063 писал(а):

Нужна, только не особо могу понять где и каким образом можно его использовать..

Его (кого его?) не использовать надо, а доказывать.

[diga011]

Otta в сообщении #1094064 писал(а):

А чему равна $\|h'\|_{C^1}$?

0

Otta в сообщении #1094064 писал(а):

То есть $o(1)$? Вы уверены?

точнее
$(\frac{\left\lVert\omega(x,h)\right\rVert}{\|h\|_{C^1}})\to 0 $
при
$\|h\|_{C^1}$\to 0$$

Otta в сообщении #1094064 писал(а):

не использовать надо, а доказывать.

а что именно доказывать?

походу теперь я запутался..

[Otta]

diga011 в сообщении #1094066 писал(а):

0

diga011 в сообщении #1094066 писал(а):

а что именно доказывать?

А как выглядит определение производной по Фреше без купюр? Каким должен быть оператор в линейной части?

diga011 в сообщении #1094066 писал(а):

точнее
$(\frac{\left\lVert\omega(x,h)\right\rVert}{\|h\|_{C^1}})\to 0 $
при
$\|h\|_{C^1}\to 0$

Это уже лучше, но у Вас не обосновано.