2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория множеств. Построить взаимно-однозначное соответствие
Сообщение24.01.2016, 00:13 


29/12/12
21
Добрый день!
Доказать, что если $A' \subset A$ и $B' \subset B$ и существуют взаимно-однозначные соответствия $f : A' \to B$ b и $g : B' \to A$, то существует и взаимно-однозначное соответствие между $A$ и $B$.

Моя идея решения основывается на попытке дополнить в отображении $f : A' \to B$ множество $A'$ до $A$ таким образом. Если $g: B' \to A$ взаимно-однозначное, то $\exists C \subset B': g(C) = A \setminus A'$. Объединив $f : A' \to B$ и $g^{-1} : A \setminus A' \to C$, получим почти решение, ведь теперь множество $f^{-1}(C)$ не сопоставляется ничему. Можно ли как-то продолжить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств. Построить взаимно-однозначное соответствие
Сообщение24.01.2016, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Это теорема Кантора-Бернштейна. Доказательства несложные, но нудные.
А у Вас при объединении отображений не получится взаимной однозначности. Каждый элемент множества $C$ будет иметь два прообраза. И $f^{-1}(C)=D\subset A';D\ne \varnothing$. Впрочем, может быть так и строится какая-то длинная цепь вложений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств. Построить взаимно-однозначное соответствие
Сообщение24.01.2016, 01:31 


08/09/13
210
Доказательство изложено, например, в книге Айгнера и Циглера "Доказательства из книги", на странице 112.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств. Построить взаимно-однозначное соответствие
Сообщение24.01.2016, 11:35 


29/12/12
21
Спасибо! Да, это именно то, о чем я думал.
Как я понимаю, без вот этого перехода к четному объединению или его аналогу доказать не получится?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group