Периодические функции

[mak1610]

Доброго времени суток!
Посоветуйте, пожалуйста, задачу с периодичностью функций к конференции школьников по математике. Заранее благодарю

[Brukvalub]

1. Найти наименьший положительный период функции $\sin x +\cos \sqrt{2}x$ , или доказать, что его нет.
2. Может ли непостоянная функция быть периодической и не иметь наименьшего положительного периода?

[mak1610]

Желательно что-нибудь посложнее. Мне кажется на первое можно дать сразу ответ, зная что такое период. Во втором есть замечательный пример

[arseniiv]

Ага, при условии непрерывности его бы не было.

[Brukvalub]

Хорошо, усилим, как предлагает arseniiv, п.2:
Может ли непостоянная непрерывная на всей числовой прямой функция быть периодической и не иметь наименьшего положительного периода?
Ну, и здесь же можно проиграть различные вариации свойства непрерывности: требовать не более конечного множества разрывов, чтобы все разрывы были только первого рода и т.п.