Вычисление временного интервала между событиями в рамках СТО

[Ctrl-Alt-De1]

Пересчитал:

$$ \delta t'=\frac{t_2-\frac{V}{c^2}(v_0t_r-v_0t_2)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} - \frac{t_1-\frac{V}{c^2}v_0t_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} $$

$$ \tau = \frac 1c\sqrt {\frac{m}{1-\frac{V^2}{c^2}}} \delta t'=\frac 1c\sqrt {\frac{m}{1-\frac{V^2}{c^2}}}\left(\frac{t_2-\frac{V}{c^2}(v_0t_r-v_0t_2)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} - \frac{t_1-\frac{V}{c^2}v_0t_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right) $$

Лучше не стало... Похоже, где-то еще я накосячил...

[arseniiv]

Кстати, не хотите уже избавиться от $c$, сделав её единицей? Потом её ведь всегда можно восстановить, исходя из размерностей.

[Ctrl-Alt-De1]

arseniiv в сообщении #1093316 писал(а):

Кстати, не хотите уже избавиться от $c$, сделав её единицей? Потом её ведь всегда можно восстановить, исходя из размерностей.

боюсь, так сделаю еще больше косяков...

[Cos(x-pi/2)]

Ctrl-Alt-De1
В интеграле, который Вы написали после этой фразы:

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Подставим найденные значения в формулу $(1)$:

пределы интегрирования должны быть нештрихованными, потому что перед этим Вы уже выразили штрихованную переменную времени через нештрихованную. И тогда вместо $(10)$ получается правильный ответ:

$$\tau=\frac 1c \, \sqrt{\frac{m}{1-\frac{V^2}{c^2}}}\, \delta t \,=\, \frac {\delta t}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\, \sqrt {1+\frac{V^2v_{0}^2}{c^4}-\frac{v_0^2}{c^2}-\frac{V^2}{c^2}}\, =\, \delta t \, \sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}$$

То же самое легко получается и без интегрирования: мировые линии здесь в обеих ИСО состоят из двух прямолинейных отрезков, и поэтому интегрирование сводится к умножению на разность временных координат для "концевых" точек этих отрезков, но только надо аккуратно записать для них явные выражения. Вам уже правильно подсказали, что тут нельзя отделаться вот этой фразой

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093278 писал(а):

$x_r$, $x_2$, $t_r$, $t_2$ аналогично, нужно только заменить соответствующие индексы

Пользуясь произволом в выборе начала координат, можно координаты начальной мировой точки (точка $A$ в ваших обозначениях) выбрать в обеих ИСО равными нулю: $t_1=t'_1=0,$ $x_1=x'_1=0.$ Тогда по формулам преобразования Лоренца достаточно выписать только мировые координаты точки разворота (с индексом $r$ в ваших обозначениях) и конечной точки (с индексом $2$, причём: $x_2=0$ и $t_2=2t_r=\delta t$ в ваших обозначениях). Если написать координаты без ошибок, то интервал $s$ на двух отрезках мировой линии легко вычисляется в обеих ИСО через разности мировых координат концевых точек отрезков, и в итоге в обеих ИСО получается, разумеется, правильный ответ $(3).$

[Ctrl-Alt-De1]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1093334 писал(а):

пределы интегрирования должны быть нештрихованными, потому что перед этим Вы уже выразили штрихованную переменную времени через нештрихованную

Действительно, вы правы. С такими пределами интегрирования все получается, спасибо.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1093334 писал(а):

То же самое легко получается и без интегрирования

Попробуем так:

$$\begin{cases} x_1 = v_0 t_1=0\\ x_r = v_0 t_r\\ x_2 =2v_0t_r-v_0t_2=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1' = \frac{v_0t_1-Vt_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=0\\ x_r' = \frac{v_0t_r-Vt_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\\ x_2' = \frac{2v_0t_r - v_0t_2-Vt_2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{-Vt_2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} \end{cases}$$

$$\begin{cases} t_1' = \frac{t_1-\frac{V}{c^2}v_0t_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=0\\ t_r' = \frac{t_r-\frac{V}{c^2}v_0t_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\\ t_2' = \frac{t_2-\frac{V}{c^2}(2v_0t_r - v_0t_2)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{t_2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} \end{cases}$$

$$ s = \sqrt{c^2{(t_r-t_1)}^2 - (x_r - x_1)^2} + \sqrt{c^2{(t_2-t_r)}^2 - (x_2 - x_r)^2} = \sqrt{c^2t_r^2 - x_r^2} + \sqrt{c^2t_r^2 - x_r^2}=2\sqrt{c^2t_r^2 - x_r^2} $$

$$ s =2\sqrt{c^2t_r^2 - x_r^2}=2\sqrt{c^2t_r^2 - v_0^2t_r^2}=2t_rc\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}= c\delta t\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}} $$

Обозначим интервал в ИСО $O'x'y'z'$ так: $s'=s_1'+s_2'$, где $s_1'$ и $s_2'$ - интервалы на отрезках "туда" и "обратно", тогда:

$$ s_1'=\sqrt{c^2(t_r'-t_1')^2-(x_r'-x_1')^2}=\sqrt{c_2t_r'^2-x_r'^2} = \sqrt{c_2\left(\frac{t_r-\frac{V}{c^2}v_0t_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)^2-\left(\frac{v_0t_r-Vt_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)^2} $$

$$ s_1'=\frac{\sqrt{c_2\left(t_r-\frac{V}{c^2}v_0t_r\right)^2-\left(v_0t_r-Vt_r\right)^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{\sqrt{c^2t_r^2-2t_r^2Vv_0+\frac{V^2v_0^2t_r^2}{c^2}-v_0^2t_r^2+2v_0Vt_r^2-V^2t_r^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} $$

$$ s_1'=\frac{\sqrt{c^2t_r^2\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)+v_0^2t_r^2\left(\frac{V^2}{c^2}-1\right)}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\sqrt{c^2t_r^2-v_0^2t_r^2} $$

$$ s_2'=\sqrt{c^2(t_2'-t_r')^2-(x_2'-x_r')^2}=\sqrt{c_2\left(\frac{t_2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}-\frac{t_r-\frac{V}{c^2}v_0t_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)^2-\left(\frac{-Vt_2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}-\frac{v_0t_r-Vt_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)^2} $$

$$ s_2'=\sqrt{\frac{c^2\left(t_2-\left(t_r-\frac{V}{c^2}v_0t_r\right)\right)^2-\left(-Vt_2-\left(v_0t_r-Vt_r\right)\right)^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\sqrt{\frac{c^2\left(t_r+\frac{V}{c^2}v_0t_r\right)^2-\left(-Vt_r-v_0t_r\right)^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}} $$

$$ s_2'=\sqrt{\frac{c^2t_r^2+2t_r^2Vv_0+\frac{V^2v_0^2t_r^2}{c^2}-V^2t_r^2-2t_r^2Vv_0-v_0^2t_r^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\sqrt{c^2t_r^2-v_0^2t_r^2} $$

Итак, получаем:

$$ s' = s_1'+s_2' = 2\sqrt{c^2t_r^2-v_0^2t_r^2}=c\delta t\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}} $$

Тогда искомое собственное время путешественника (в обоих ИСО):

$$ \tau=\frac 1c s=\frac 1c s' = \delta t\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}} $$

Все сошлось! Большое всем спасибо, тему можно считать исчерпанной.