2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два функциональных уравнения
Сообщение21.01.2016, 18:00 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Доброго дня всем!
Пару дней назад дали решить десток функциональных уравнений на разные темы.
Восемь мне поддались.

Вот оставшиеся два:

1. Решить уравнение в классе функций, имеющих производную $f(f(x))=f(x)+x, D_f=\mathbb R$
Здесь мне удалось доказать, что функция инъективна и что $f(0)=0$

2. Решить в классе непрерывных функций $f(x+y)=f(y)\times f(x)^{1-\ln{f(y)}}, D_f=\mathbb R$
Несколько подобных уравнений методом Коши мною были решены успешно, однако здесь не получает индуктивно получить выражение для $f(nx)$. Может, я где-то ошибаюсь.

Заранее огромное спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение21.01.2016, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
1. Найдите производную в нуле, представьте функцию как $ax + o(x)$ и ищите дальше это о-малое.
2. Прологарифмируйте и рассмотрите соотношение для $\ln f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение21.01.2016, 19:15 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Xaositect в сообщении #1092932 писал(а):
1. Найдите производную в нуле, представьте функцию как $ax + o(x)$ и ищите дальше это о-малое.
2. Прологарифмируйте и рассмотрите соотношение для $\ln f(x)$.


Со вторым понятно, вроде стало получаться. Спасибо!!!
А вот с первым совсем не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение22.01.2016, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
NeRRR в сообщении #1092950 писал(а):
А вот с первым совсем не понятно.
Дифференцируемая функция около нуля приближенно линейна - $f(x) = f'(0) x + \varphi(x)$, где $\varphi$ бесконечно малая в нуле. А дальше надо составить соотношение на $\varphi$ и внимательно на него посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение23.01.2016, 22:12 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Xaositect в сообщении #1093199 писал(а):
Дифференцируемая функция около нуля приближенно линейна - $f(x) = f'(0) x + \varphi(x)$, где $\varphi$ бесконечно малая в нуле

У меня получилось вот что:
$f'(f(0))f'(0)=f'(0)+1$
Тогда получаем квадратное уравнение относительно $f'(0)$, из которого $f'(0)=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$

Дальше непонятно;(

Спасибо вам за советы!!!

-- Сб янв 23, 2016 23:20:37 --

Xaositect в сообщении #1093199 писал(а):
А дальше надо составить соотношение на $\varphi$ и внимательно на него посмотреть.

Теперь подставляем полученное значение $f(x)=f'(0)x+\varphi(x)$ в соотношение $f(f(x))=f(x)+x$
Честно, смотрю очень внимательно, но получается что-то бешеное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение23.01.2016, 22:44 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
NeRRR
Вам уже всё сказали, но я подскажу другой способ решения - оно ищется в виде
$\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \xi (t)\\
f = \xi (t + 1)
\end{array} \right.\]$
И уравнение сводится к линейному $\[\xi (t + 2) = \xi (t + 1) + \xi (t)\]$, которое решается через характеристическое уравнение

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение23.01.2016, 23:06 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Ms-dos4 в сообщении #1093644 писал(а):
другой способ решения - оно ищется в виде
$\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \xi (t)\\
f = \xi (t + 1)
\end{array} \right.\]$
И уравнение сводится к линейному $\[\xi (t + 2) = \xi (t + 1) + \xi (t)\]$, которое решается через характеристическое уравнение


Получаем $xi (t)=C_1 e^{t\frac{1+\sqrt5}{2}}+C_2 e^{t\frac{1-\sqrt5}{2}}$?

Как теперь получается $\xi (t)$? Подстановкой $t+1$?

Спасибо за отклик!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение23.01.2016, 23:12 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
NeRRR
Откуда экспоненты то? Вы не ДУ решаете. Решение пишется в виде $\[x = A(t)\lambda _1^t + B(t)\lambda _2^t\]$, где $\[A(t)\]$ и $\[B(t)\]$ - некие периодические функции с единичным периодом. В итоге получаете
$\[\left\{ \begin{array}{l}
x = A(t){(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2})^t} + B(t){(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2})^t}\\
f = A(t){(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2})^{t + 1}} + B(t){(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2})^{t + 1}}
\end{array} \right.\]$
В частном случае видно, что $\[f = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x\]$, однако все ли это решения думать сейчас не хочется :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение27.01.2016, 17:04 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Ms-dos4 в сообщении #1093654 писал(а):
В частном случае видно, что $\[f = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x\]$, однако все ли это решения думать сейчас не хочется :-)

А где можно почитать об этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение27.01.2016, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
NeRRR в сообщении #1094646 писал(а):
А где можно почитать об этом?

Бродский Я.С., Слипенко А.К.-Функциональные уравнения-Вища школа, 1983, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н.-Функциональные уравнения "Пифагор" вып.3, Самара, 1997, Лихтарников Л.М.-Элементарное введение в функциональные уравнения. Книга для начинающих изучать функциональные уравнения и преподавателей-Лань, 1997.
Все три книги примерно одного уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение28.01.2016, 15:48 
Аватара пользователя


05/05/11
33
Brukvalub в сообщении #1094666 писал(а):
Бродский Я.С., Слипенко А.К.-Функциональные уравнения-Вища школа, 1983, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н.-Функциональные уравнения "Пифагор" вып.3, Самара, 1997, Лихтарников Л.М.-Элементарное введение в функциональные уравнения. Книга для начинающих изучать функциональные уравнения и преподавателей-Лань, 1997.
Все три книги примерно одного уровня.


Я имею в виду, о характеристических уравнениях и составлении вот этих интересных уравнений относительно $\xi$ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два функциональных уравнения
Сообщение02.02.2016, 20:09 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ms-dos4 в сообщении #1093654 писал(а):
все ли это решения думать сейчас не хочется :-)

Все, однако...
Но, видимо, лучше все же работать с поправкой к линейному, как предложил Xaositect

NeRRR
Но работа требует терпения и аккуратности....
1. Пусть $f(x)=x\cdot(k+\alpha(x))$, где $k>0$ - найденная Вами производная в нуле. Тогда

$\alpha(x) \to 0$ при $ x\to0$
2.Подставим в ФУ, и выразим $\alpha(x)$ через $\alpha(f(x))$
3. Вы уже показали, что функция наша - инъективна, и равна нулю в нуле. Значит, у нее есть обратная, обозначим ее $g$; обе они монотонно возрастают
4. Выразим $\alpha(x)$ через $\alpha(g(x))$; имеем: $\alpha(x)$ получается из $\alpha(g(x))$ домножением на некий (страшный - ну и Бог с ним) множитель.
5.Много-много раз повторим эту процедуру(т.е., Выразим $\alpha(g(x))$ через $\alpha(g(g(x)))$, и т.д.). Перемножим все эти равенства. Получим, что $\alpha(x)$ выражается через $\alpha(g(g(\dots x))\dots)$, $n$скобок, уже с совершенно кошмарным коэффициентом.
6. Выберем малую окрестность нуля, на которой $\alpha(x)$ мала. На этой окрестности будет:
$0<g(x)<x$ при $x>0$
7.Оценив все сверху-снизу-сбоку, и устремив $n$ к бесконечности, получим $\alpha(x)=0$.

Это, конечно, только схема (именно ее и имел ввиду
Xaositect в сообщении #1093199 писал(а):
внимательно на него посмотреть.
). Попробуйте восстановить все детали...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group