2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 17:40 


07/10/15

2400
Помогите пожалуйста разобраться
ошибка конечноэлементной аппроксимации решения уравнения Пуассона, в случае линейных базисных функций определяется как
$\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0\leqslant C\cdot h^2\left\lVert \varphi\right\rVert_2$, где $\varphi$ - истинное значение потенциала, $\tilde{\varphi}$ - его аппроксимация, $C$ - некоторая постоянная, $ h $ - шаг расчётной сетки.
по определению нормы функции $\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0=max\left\lvert \varphi - \tilde{\varphi } \right\rvert$
$\left\lVert \varphi\right\rVert_2=max\left\lvert \varphi \right\rvert + max\left\lvert grad(\varphi) \right\rvert + max\left\lvert div(grad(\varphi)) \right\rvert $

обращаюсь к специалистам, можно корректно ли будет представление этого неравенства в виде
$max\left\lvert \varphi - \tilde{\varphi } \right\rvert\leqslant h^2( C_1 \cdot max\left\lvert \varphi \right\rvert +  C_2 \cdot max\left\lvert grad(\varphi) \right\rvert +  C_3 \cdot max\left\lvert div(grad(\varphi)) \right\rvert )$

т.е. корректно ли будет вместо единой константы $C$ вводить три разные константы для потенциала и его первой и второй производной
это необходимо чтобы определить вклад каждой компоненты нормы в общую ошибку, с единой константой этого сделать неудаётся,
например в одной и той же задачи если потенциал измеряется в вольтах а расстояние в метрах, то доминирующим слагаемым второй нормы будет вторая производная, если же расстояние измеряется в миллиметрах, то доминирующим будет потенциал, так как
$1V/m>>10^{-3}V/mm$, хотя с физической точки зрения это одна и та же величина

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 17:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Констант, разумеется, три, и они, разумеется, зависят от выбора системы единиц -- просто потому, что умножаются на величины разных размерностей. Просто потом они огрубляются до одной по максимуму. А делается так потому, что эта оценка -- сугубо теоретического характера, на практике никто с её помощью контролировать точность даже и не пытается.

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 18:20 


07/10/15

2400
ewert в сообщении #1092926 писал(а):
Констант, разумеется, три, и они, разумеется, зависят от выбора системы единиц -- просто потому, что умножаются на величины разных размерностей. Просто потом они огрубляются до одной по максимуму. А делается так потому, что эта оценка -- сугубо теоретического характера, на практике никто с её помощью контролировать точность даже и не пытается.


большое спасибо!
если так то этот момент мне стал понятен

но ещё вопрос
известно, что по первой норме, т.е. вместе со своей первой производной это же решение сходится как
$\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_1\leqslant C\frac{h}{sin\alpha}\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2  $,
тогда вычитая из этого выражения выражение для нуль-нормы получаем выражение для сходимости чисто первой производной, без самой функции, и оно получается таким
$max\left\lvert \delta E \right\rvert \leqslant (C_2\frac{h}{sin\alpha}-C_1\cdot h^2)\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $
тогда получается с увеличением шага сетки ошибка по производной как и следовало ожидать увеличивается, но затем достигает максимума, а дальше - даже уменьшается, хотя ошибка потенциала разумеется всё это время растёт с квадратом шага сетки
так ли это на самом деле, и если да - то чем это можно объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 18:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Andrey_Kireew в сообщении #1092933 писал(а):
$max\left\lvert \delta E \right\rvert \leqslant (C_2\frac{h}{sin\alpha}-C_1\cdot h^2)\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $

Я в оценки не вникал, но такого, во всяком случае, не бывает: нельзя вычитать друг из друга неравенства одного направления.

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 18:41 


07/10/15

2400
ewert в сообщении #1092935 писал(а):
Andrey_Kireew в сообщении #1092933 писал(а):
$max\left\lvert \delta E \right\rvert \leqslant (C_2\frac{h}{sin\alpha}-C_1\cdot h^2)\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $

Я в оценки не вникал, но такого, во всяком случае, не бывает: нельзя вычитать друг из друга неравенства одного направления.


понятно, спасибо

-- 21.01.2016, 19:46 --

ewert в сообщении #1092935 писал(а):
Я в оценки не вникал, но такого, во всяком случае, не бывает: нельзя вычитать друг из друга неравенства одного направления.


ещё небольшой вопрос, а почему тогда синус минимального угла влияет только на ошибку напряженности, а на ошибку потенциала не влияет? для меня это как то странно

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 19:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Andrey_Kireew в сообщении #1092939 писал(а):
а почему тогда синус минимального угла влияет только на ошибку напряженности, а на ошибку потенциала не влияет?

Я не помню технических деталей МКЭ, но, в принципе, так и должно быть. При триангуляции поверхности грани хорошо аппроксимируют саму поверхность независимо от их формы, а вот градиент -- лишь если они не слишком остроугольны (вспомните хотя бы сапог Шварца).

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 19:15 


07/10/15

2400
ewert в сообщении #1092945 писал(а):
Я не помню технических деталей МКЭ, но, в принципе, так и должно быть. При триангуляции поверхности грани хорошо аппроксимируют саму поверхность независимо от их формы, а вот градиент -- лишь если они не слишком остроугольны (вспомните хотя бы сапог Шварца).


теперь понятно!
пожалуйста ответьте ещё на один вопрос:
как я понял константа $C$ ни от разбиения, ни от распределения потенциала, напрашивается вывод, что она не зависит и от краевых условий. Тогда возникает справедливый вопрос - от чего же тогда она зависит?
т.е. интересует могу ли я вычислить эти константы для конкретного класса задач (например на сгущающихся сетках по формулам Рунге), а потом их как то использовать для оценивания ошибок других решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 19:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Andrey_Kireew в сообщении #1092949 писал(а):
от чего же тогда она зависит?

Она, безусловно, зависит от спектральных свойств оператора (и, следовательно, от граничных условий тоже). Но искать её явно -- занятие довольно бесперспективное.

 Профиль  
                  
 
 Re: влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку
Сообщение21.01.2016, 19:27 


07/10/15

2400
ewert в сообщении #1092952 писал(а):
Она, безусловно, зависит от спектральных свойств оператора (и, следовательно, от граничных условий тоже). Но искать её явно -- занятие довольно бесперспективное.


это плохо, а как думаете, хотя бы приближенно можно найти какие то усреднённые значения?
вообще у меня есть потребность в априорных оценках ошибки, в частности как влияет на неё напряжённость, заряд и мам потенциал
или же всё это можно использовать исключительно для исследования сходимости?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group