Выпуклые пространства

[ProPupil]

Определение. Метрическое пространство $(X, \rho)$ называется выпуклым, если $\forall x, y \in X: \, \exists z \in X: \, \rho(x,y) = \rho(x,z) + \rho(y,z)$

Можно ли указать такое невыпуклое (в обычном смысле евклидовой геометрии) множество $Y \subset \mathbb R^2$ и такую метрику $d$ в нём, что пространство $(Y,d)$ будет выпуклым метрическим пространством?

[gris]

Что если взять звезду и отгомеоморфить её в круг? Метрику из круга и взять.
Или просто произвольное множество биективно отобразить в отрезок? Вот тут я не совсем уверен.

[NSKuber]

Видимо, ещё подразумевается, что $z$ отлично от $x,y$ (иначе совсем просто)?
Тогда берём, например, рациональные точки отрезка $[0,1]$ с метрикой, индуцированной обычной метрикой $\mathbb{R}^2$. Очевидно, это множество невыпукло в обычном смысле, но между любыми двумя его точками найдётся отличная от них нужная третья.

[gris]

Можно с обычной метрикой просто в круге выколоть точку не очень далеко от центра.
Какой-то подвох там прячется

[ProPupil]

Странно, что вот эту конструкицю никто не углядел.

Возьмём единичную окружность на плоскости. Очевидно, она невыпукла, т. к. ни одну из двух точек нельзя соединить отрезком, целиком лежащим на окружности.

А теперь на этой окружности вводим метрику, как длину дуги, соединяющей точки $x$ и $y$.

[gris]

А дуги две Какую выбирать?

[ProPupil]

Если выберем кратчайшую - получим одно выпуклое метрическое пространство.
Если выберем более длинную - получим второе выпуклое метрическое пространство.

[NSKuber]

ProPupil в сообщении #1092961 писал(а):

Если выберем более длинную - получим второе выпуклое метрическое пространство.

Ой ли?

[ProPupil]

Верно, не получим