2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 12:20 


22/11/15
124
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, верна ли будет запись $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}=\infty$?

Я понимаю, что $\displaystyle\lim\limits_{x\to +0}\dfrac{1}{x}=+\infty$

Я понимаю, что $\displaystyle\lim\limits_{x\to -0}\dfrac{1}{x}=-\infty$

Потому получается, что $\displaystyle\lim\limits_{x\to +0}\dfrac{1}{x} \ne \displaystyle\lim\limits_{x\to -0}\dfrac{1}{x}$, значит предел не существует.

Верна ли запись $e^{+\infty}=+\infty$?

Верна ли запись ${2\cdot (+\infty)}=+\infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4607
Это исключительно вопрос соглашения.
Обычно считают, что запись $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}=\infty$ верна, именно потому, что все частичные пределы равны $+\infty$ или $-\infty$.
Но это не значит, что сказать "предел не существует" будет сильно неправильно.
Это вопрос соглашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 13:45 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
toreto в сообщении #1091736 писал(а):
Верна ли запись
Не позволяйте себя обманывать математической записи. $\lim f(x)=1$ и $\lim f(x)=\infty$ — две большие разницы. Вторая запись вовсе не означает, что мы дополняем множество действительных чисел некой бесконечностью; это можно сделать, но это надо делать :wink: Сама по себе запись бесконечного предела этого не влечёт.
$\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty$; $\lim f(x)=+\infty\Rightarrow\lim 2f(x)=+\infty$ — абсолютно верно; написанное вами — ересь (без соответствующего предисловия).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
iifat в сообщении #1091787 писал(а):
Не позволяйте себя обманывать математической записи.

Дык никто в математике так и не пишет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 14:03 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Munin в сообщении #1091790 писал(а):
никто в математике так и не пишет
Как именно? Предел равен бесконечности? Никто не пишет? А старые учебники, по которым я учился — их сожгли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
iifat в сообщении #1091794 писал(а):
Как именно?

Никто не пишет вот так:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение18.01.2016, 14:21 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
А! Так — да. Не пишут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 00:30 


22/11/15
124
Хорошо, спасибо, а почему никто не пишет $e^{+\infty}=+\infty$? Из-за того, что "бесконечности разного порядка"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 00:41 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Потому что бесконечность — не число, и возводить в неё число (в данном случае $e$) — бессмыслица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 01:16 


22/11/15
124
Aritaborian в сообщении #1092040 писал(а):
Потому что бесконечность — не число, и возводить в неё число (в данном случае $e$) — бессмыслица.

А можно ли сказать, что предел последовательности $a_n=e^n$ равен $+\infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 01:22 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
1. Прочитайте определение понятия «предел последовательности есть $+\infty$».
2. Установите, удовлетворяет ли последовательность условиям, перечисленным в определении.
3. В зависимости от ответа на п.2, говорите либо не говорите.
Если возникнут некие трудности — обращайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 03:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
toreto в сообщении #1092037 писал(а):
а почему никто не пишет $e^{+\infty}=+\infty$?
Потому что обычно не принято доопределять функции или что-то ещё до $[-\infty;+\infty]$ по непрерывности: ведь $[-\infty;+\infty]$ ничем не лучше проективной прямой $\mathbb R\cup\{\infty\}$, а в ней $e^\infty$ нельзя доопределить по непрерывности.

-- Вт янв 19, 2016 05:32:17 --

Мне сначало показалось, что тут упоминали, что $\mathbb R$ можно пополнить бесконечностями двумя способами: одной и двумя. И топология у результатов разная, откуда всё и идёт. В $\mathbb R\cup\{\infty\}$ можно доопределить по непрерывности $x\mapsto 1/x$ в нуле и $\infty$, а в $\overline{\mathbb R}$ можно доопределить эту функцию в $\pm\infty$, но в нуле так и останется дырка. В общем случае такие доопределения, вроде, совершенно бесполезны: ну да, база предела $x\to\infty$ или $x\to\pm\infty$ стала базой окрестностей элемента множества и топологически теперь неотличима [и то только для $\infty$] от какой-нибудь $x\to 7$ — но на этом все радости заканчиваются. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Aritaborian в сообщении #1092040 писал(а):
Потому что бесконечность — не число

Я сам хотел сказать ровно то же самое.

Поэтому не буду повторять, а немного добавлю.

Есть два разных понятия: число и точка.

Вначале для школьников они существуют по отдельности, как просто слова из разных миров: из арифметики / алгебры и из геометрии. Всё нормально.

Потом школьники изучают числовую прямую и координатную плоскость. И научаются сопоставлять $\textit{число}\leftrightarrow\textit{точка}.$ На числовой прямой каждая точка - это какое-то число из множества $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$ - множества действительных чисел. И напротив, каждое число из $\mathbb{R}$ - это какая-то точка на прямой.

А теперь, надо мысленно снова разделить эти понятия. Развести их. К прямой линии можно добавить ещё точки. Это будут "бесконечно удалённые точки", одна или две. Это сделать можно, чисто геометрически (предел - это геометрическое понятие, например, в школьной геометрии постоянно встречаются пределы: при определении длины кривой линии, площади фигуры, при определении касательной). Но при этом, к множеству $\mathbb{R}$ нельзя добавить таких чисел. Потому что числа "идут с другим комплектом": чтобы какой-то новый элемент можно было назвать числом, его надо вписать во все арифметические операции, научиться проводить с ним всевозможные вычисления.

К множеству $\mathbb{R},$ конечно, можно добавить ещё новые числа, но другие. Например, могут получиться комплексные числа. Или, может получиться так называемое "нестандартное множество действительных чисел", в котором будут "актуальные бесконечности". Но я не советую так делать. Главная проблема здесь в том, что вы не можете добавить числа по одному - вам придётся сразу добавлять бесконечно много новых чисел, сразу не меньше чем копию исходного множества $\mathbb{R},$ а то и кучу таких копий.

----------------

Ещё я хотел бы подчеркнуть такую вещь. Добавление одной точки $\infty$ и добавление двух точек $\pm\infty$ - это действия разные. Получатся разные результаты. И нельзя добавить и то и другое. То есть, вы должны рассматривать три разных конструкции:
- просто числовая прямая $(-\infty,+\infty)$;
- числовая прямая $(-\infty,+\infty)\cup\{\infty\},$ пополненная одной бесконечно удалённой точкой;
- числовая прямая $(-\infty,+\infty)\cup\{-\infty,+\infty\},$ пополненная двумя бесконечно удалёнными точками.
Эти конструкции используются неформально рядом, только чтобы "сообщить дополнительную уточнённую информацию", когда это можно. Например, если вы считаете $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x,$ то вы можете написать ответ $\infty,$ и будете абсолютно правы. Определению бесконечного предела это удовлетворяет. Но вы можете сделать большее, вы можете уточнить ответ, и написать $+\infty$ (и именно это будет вам зачтено как решённая задача). И это тоже будет правильным ответом, и выполненным определением.

Но по сути, надо понимать, что мы имеем дело с тремя геометрическими фактами:
1. Если мы рассматриваем просто числовую прямую $(-\infty,+\infty),$ то в ней предел $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x$ не существует. (Для вас это произносят как "не существует конечный предел".)
2. Если мы рассматриваем числовую прямую $(-\infty,+\infty)\cup\{\infty\},$ то в ней предел $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x$ существует, и равен $\infty.$
3. Если мы рассматриваем числовую прямую $(-\infty,+\infty)\cup\{-\infty,+\infty\},$ то в ней предел $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x$ существует, и равен $+\infty.$
Просто от вас ждут формулировки именно третьего факта, поскольку он "наиболее подробный".

-- 19.01.2016 11:44:05 --

А, ну и это уже arseniiv произнёс, и даже больше и подробней...

-- 19.01.2016 11:50:19 --

----------------

Ещё добавлю. Если мы говорим про точки, то почему вообще пишем под знаком предела $e^x$ и другие формулы? На самом деле, конечно, в множестве $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ или $\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ вычислять ничего нельзя. Но это было бы нам неудобно: мы хотим брать разные функции, и их исследовать, чтобы посмотреть, какие у них будут пределы. Поэтому, мы просто вычисляем что-то в рамках обычного $\mathbb{R},$ а потом переносим эти числа уже в пополненные множества, по очевидному (естественному) сопоставлению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 16:39 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Munin в сообщении #1092147 писал(а):
На самом деле, конечно, в множестве $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ или $\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ вычислять ничего нельзя.

Если не сложно, объясните, пожалуйста, что это значит, я не совсем понял. То есть: почему нельзя вычислять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел 1/x, x->0 не существует или ∞ ?
Сообщение19.01.2016, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

iou в сообщении #1092268 писал(а):
Munin в сообщении #1092147 писал(а):
На самом деле, конечно, в множестве $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ или $\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ вычислять ничего нельзя.

Если не сложно, объясните, пожалуйста, что это значит, я не совсем понял. То есть: почему нельзя вычислять?
Что тут непонятного, просто Munin запретил, а с ним лучше не связываться, так что вычислять не будем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group