Вывод формулы радиуса сегмента

[timtam]

Возникла задача определить радиус сегмента по его высоте и хорде.
В моем карманном справочнике по математике были только формулы для вычисления высоты и хорды / радиуса.
Но в обеих формулах присутствует величина угла сегмента.
Графически задача эта решается элементарно


Однако википедия предлагает вот такую формулу
$R=h/2+c^2/8h$

Казалось бы все прекрасно - формула есть - радуйся жизни.
Но википедия не предлагает (и не должна) вывода этой формулы.
Пробовал сам по треугольникам $GEF$, $DEC$, $GFC$
Не получается.

Если кто-то знает ресурс где показан вывод этой формулы поделитесь, пожалуйста, ссылкой.
Или надоумьте, с чего начинать вывод формулы.
Спасибо.

[svv]

Запишите теорему Пифагора для треугольника $GDC$, подставив
$|GD|=R-h$
и так далее.

[arseniiv]

timtam в сообщении #1091052 писал(а):

Или надоумьте, с чего начинать вывод формулы.

Просто понаписать уравнений для всех имеющихся треугольников и начать тащить оттуда интересующую величину. Хотя, в принципе, сейчас уже вижу стратегию: вот у нас известен треугольник $\triangle DEC$, а значит, известен и угол $\angle GEC$, и основание $CE$ равнобедренного треугольника с боковой стороной, которая вас интересует. Это всё получается само собой «размоткой» того, что связано с начальными и конечными данными.

Нельзя сказать, что стратегия универсальная — нет, все задачи не решаются одинаково просто, но пробовать эту штуку стоит всегда, если только не уверены по каким-то признакам, что она не сработает.

[Mihr]

timtam,
а я сделал так. Обозначил половину угловой величины сегмента $\alpha$. Записал выражения для высоты сегмента
$h=R(1-\cos(\alpha))$
и его ширины
$c=2R\sin(\alpha)$.
Выразил из этих уравнений синус и косинус и подставил полученные выражения в основное тригонометрическое тождество.
После упрощения результата получилось как в Википедии.

[gris]

Предложу ещё вариант: $\triangle ECD\sim\triangle EGF$, т.к. вписанный угол равен половине центрального.

[iifat]

Наконец, самый тупой и потому универсальный способ: провести как-нить оси координат и воспользоваться методами аналитической геометрии.

[Евгений Машеров]

$R^2=(R-h)^2+(\frac c 2)^2$

[Mihr]

Евгений Машеров в сообщении #1091146 писал(а):

$R^2=(R-h)^2+(\frac c 2)^2$

Повтор:

svv в сообщении #1091056 писал(а):

Запишите теорему Пифагора для треугольника $GDC$, подставив
$|GD|=R-h$
и так далее.

[timtam]

Всем спасибо.
Действительно все очень просто.
Сказывается отсутствие навыков )