Изоморфизм обратного

[timber]

Помогите, пожалуйста, детально понять. Понимаю, что для бывалых все это достаточно тривиально.

Пусть даны две группы $G_1$, $G_2$ и $\varphi: G_1 \to G_2$ -- изоморфизм. Доказать, что обратное отображение $\varphi^{-1}: G_2 \to G_1$ также изоморфизм.

Почему это не следует из определения изоморфизма, а именно того, что $\varphi$ -- это взаимно однозначное отображение элементов группы $G_1$ на элементы группы $G_2$ и для каждого отображения существует обратное. Почему нельзя ограничиться этим рассуждением и необходимо более детальное доказательство?

Определение изоморфизма:

Цитата:

Пусть даны две группы $G_1$ и $G_2$, и пусть имеется взаимно однозначное отображение $\varphi$ элементов группы $G_1$ на элементы группы $G_2$, причем такое, что умножению в $G_1$ соответствует умножение в $G_2$, т. е. если $\varphi(a) = a', \varphi(b) = b', \varphi(c) = c'$ и $ab = c$ в группе $G_1$, то $a'b' = c'$ в группе $G_2$. Тогда $\varphi$ называют изоморфизмом группы $G_1$ на группу $G_2$, а группы, между которыми можно установить изоморфизм, называют изоморфными. Условие того, что взаимно однозначное отображение $\varphi$ является изоморфизмом, можно записать еще следующим образом: $\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ для любых элементов $a$ и $b$ группы $G_1$; здесь произведение $ab$ берется в группе $G_1$, а произведение $\varphi(a) \cdot \varphi(b)$ в группе $G_2$.

Думаю, что нужно исходить из условия $\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ и записать его по другому. Но не понятно, как именно. Может так: $ \varphi^{-1}(a) \cdot \varphi^{-1}(b) = \varphi^{-1}(ab)$?

Наверное, плохо что-то усвоил, если не могу построить дальше линию рассуждений. Помогите, пожалуйста, осмыслить. Только желательно намеками. Мне важно понять, где я ошибаюсь или недопонимаю тему, а не само решение. (Или тут и понимать нечего?)

[iifat]

Как-то путано излагаете. Непонятно, что вам понятно.
Попробуйте выписать (без терминов типа изоморфизм, взаимно-однозначное), что мы знаем и что необходимо доказать.

[mihailm]

timber в сообщении #1090299 писал(а):

...Думаю, что нужно исходить от этого...

Несомненно. Что у нас будет $\varphi$?

[timber]

mihailm в сообщении #1090301 писал(а):

Что у нас будет $\varphi$?

Не понятно. $\varphi$ -- отображение. Например, $\varphi(a) = a'$, $\varphi(b) = b'$ и т.д., где $a, b, ... и $a', b', ... -- элементы групп $G_1$ и $G_2$ соответственно.

[Lia]

Вас просят написать, что Вам дано, и что нужно доказать. Как можно детальнее. Сделайте, пожалуйста.

[timber]

В начале темы сообщается: Даны две группы $G_1, G_2$ и $\varphi: G_1 \to G_2$ -- изоморфизм. Доказать, что обратное отображение $\varphi^{-1}: G_2 \to G_1$ также изоморфизм.

Этого недостаточно?

[provincialka]

Нет. Расшифруйте термин "изоморфизм". Что надо доказать про отображение, чтобы убедиться,что это он и есть?

[Someone]

Тот факт, что отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначное, и что обратное отображение тоже взаимно однозначно, будем считать известным, поскольку он относится, собственно, не к теории групп, а к теории множеств.

Что ещё надо доказать про $\varphi^{-1}$, чтобы убедиться, что оно есть изоморфизм групп?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Внесены исправления в стартовое сообщение.

[iifat]

timber в сообщении #1090299 писал(а):

Думаю, что нужно исходить из условия

Ввиду отсутствия других подходящих, естественно было б исходить именно из этого.
Ну, обозначьте $x=\varphi(a),\ y=\varphi(b)$. Что дальше?

[timber]

Извините, но мне не понятно.

На основе определения есть такая идея. Если задано $\varphi$, то $\varphi^{-1}(a')=a, \varphi^{-1}(b')=b$. То есть условием изоморфизма $\varphi^{-1}$ будет $\varphi^{-1}(a'b')= \varphi^{-1}(a')\cdot\varphi^{-1}(b')$? Далее нужно доказать это тождество?

[arseniiv]

Угу.

Если определение переписать словами, получится так: «изоморфизм — это биективный гомоморфизм». То, что обратная изоморфизму функция — биекция, здесь нам всем видно. Остаётся показать, что она гомоморфизм.

[timber]

arseniiv в сообщении #1090443 писал(а):

Если определение переписать словами, получится так: «изоморфизм — это биективный гомоморфизм». То, что обратная изоморфизму функция — биекция, здесь нам всем видно. Остаётся показать, что она гомоморфизм.

Дело в том, что определения «гомоморфизм» еще не было. Это впереди. Догадываюсь, что может быть Вы говорите про отображение множества элементов группы само на себя.

[arseniiv]

Не, не угадали. В общем, потом вы увидите, что гомоморфизм «проще» изоморфизма и последний может быть представлен как выше, а так-то вы уже записали то, что нужно доказать.