Про бэровские нормированные пространства

[Geros]

Здравствуйте.

Подскажите, пожалуйста, пример нормированного неполного пространства, в котором верна теорема Бэра.
Я пока такого примера не придумал.

К слову, задача на самом деле сформулирована в виде "докажите, что такие пространства существуют", что, возможно, намекает на неконструктивное доказательство существования. Подскажите тогда это доказательство.

Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Попробуйте строить пример, исходя из базиса Гамеля и удаляя одномерное подпространство, "предельное" для векторов этого базиса.

[Geros]

Спасибо!

Можно взять сепарабельное бесконечномерное банахово пространство.
Взять базис Гамеля, содержащий счётное всюду плотное подмножество.
И брать линейные оболочки векторов этого базиса, отщепляя от него предварительно хвосты какой-нибудь последовательности векторов не из счётного плотного поднабора.
Объединение таких оболочек тогда - всё пространство. Которое бэровское. Значит, одна из оболочек бэровская.
Но они все содержат всюду плотное подмножество и не совпадают со всем пространством, т. е. не замкнуты. Значит, не полны...

вроде так...

-- 13.01.2016, 03:14 --

извиняюсь...

я имел в виду базис Гамеля, содержащий счётное множество со всюду плотной линейной оболочкой...


насчёт существования просто всюду плотного счётного набора линейно независимых векторов я пока не уверен...

-- 13.01.2016, 03:15 --

и это, конечно, не верно.... в конечномерных...

-- 13.01.2016, 03:18 --

а в бесконечномерных...

-- 13.01.2016, 03:42 --

ухтыж...

а это верно...

базисы Гамеля тоже тогда всюду плотные, оказывается....
сколько нового каждый день узнаём...

-- 13.01.2016, 03:43 --

в смысле бывают... плотные базисы Гамеля...

-- 13.01.2016, 03:43 --

а бывают ли неплотные?...

-- 13.01.2016, 03:43 --

ну да ладно... уже перебор...