Т.е. в соответствии с этими волновыми уравнениями постоянный заряд и постоянный ток излучают в окружающее пространство энергию в виде электромагнитных волн.
Тут надо не торопиться, а сесть и посчитать эти "волны". У вас должно получиться статическое поле, никуда не излучающееся.
Волновое уравнение имеет решение, раскладывающееся на две части: общее решение однородного уравнения (без источников), и частное решение неоднородного уравнения (с источниками) - аналогично уравнению Лапласа. Только тут эти две части носят другой характер:
- Решение однородного уравнения - это бегущие волны, тут всё верно; и их всевозможные суперпозиции. Но такие волны не излучаются никакими источниками, они приходят с бесконечности и уходят на бесконечность.
- Частное решение неоднородного уравнения - это вещь посложнее: это статическое поле плюс волны, разбегающиеся от источников, и сбегающиеся к ним. Проходя через точку источника, такая волна меняет фазу. Волны, сбегающиеся к источнику из бесконечности (и из прошлого), можно представить себе как волны, "расходящиеся в прошлое".
Разными суперпозициями первого и второго, можно менять облик частного решения неоднородного уравнения. Например, можно выбрать волны от источников так, чтобы они все только разбегались ("в будущее"), или наоборот, чтобы они только сбегались ("расходились в прошлое"). В конкретной задаче суперпозиция подбирается так, чтобы удовлетворить начальным и граничным условиям, например, условиям излучения на бесконечности (типичное условие такого типа - "из бесконечности из прошлого на систему не падает волн").
Подробно эта техника вычислений расписана в курсе "Уравнения математической физики", раздел по гиперболическим (волновым) уравнениям, метод функции Грина.
Итак, что для нас здесь важно? Что волны от источников могут не разбегаться, а оставаться статическим полем, вблизи источников. Грубо говоря, если мы возьмём прямолинейную мировую линию для источника
(у меня греческие и латинские индексы "наоборот по смыслу" по сравнению с ЛЛ-2, так, как общепринято сегодня), то вокруг неё будет статическое кулоновское поле, преобразованное к нужной системе отсчёта. Теперь создадим ускоренное движение: изломим мировую линию, пусть она состоит из двух прямых лучей. Вблизи от каждого луча поле останется прежнего типа, но вдали от обоих лучей, в районе излома - придётся их как-то "совмещать" между собой, потому что они наклонены в пространстве-времени. Это делается бегущей волной от точки излома, или двумя волнами: "в прошлое" и "в будущее" (сходящейся и расходящейся).
Вообще, решением уравнения является любая линейная комбинация этих двух волн. Выбрать одну комбинацию можно только на основе граничных условий. В физике часто сразу выбирают чисто запаздывающее решение, и это имеет экспериментальный смысл: проще "подёргать зарядами", и наблюдать разбегающиеся волны, чем наоборот, фокусировать сходящиеся волны на заряде, да ещё так, чтобы они полностью поглотились. Но часто выбор запаздывающего решения сопровождается теми или иными "рукомаханиями", не очень убедительными, и надо понимать истинный смысл происходящего.
Теперь, когда набросано само решение, обсудим энергию. За энергией следить труднее: она шарахается туда-сюда, если мы берём простую суперпозицию решений. (Например, интерференция: берём две простых волны, в которых энергия течёт спокойно, и внезапно образуются максимумы и минимумы, и энергия течёт по максимумам, и избегает минимумов.) Излучает ли источник энергию? Это надо разбираться примерно так:
- посчитать из потенциалов поля́. Волновые уравнения обычно пишут для потенциалов, решают для потенциалов, а поля получают дифференцированием:
И тут амплитуда решения может сильно измениться.
- по полям можно определить энергию и её поток;
- в целом, поток энергии ведёт себя как-то довольно сложно, и чтобы разобраться, надо поделить пространство на условные части:
ближнюю зону (зону
ближнего поля), и
дальнюю зону (
волновую зону).
По поведению энергии и потока энергии в дальней зоне - можно определить, действительно ли физическая система излучает энергию, и теряет её, или всё-таки нет.
И ещё, очень важный "финт ушами". Всё то же самое надо знать, как выглядит после преобразования Фурье. Здесь надо прочитать 1-ю главу книги
Рубаков. Классические калибровочные поля.Там всего на нескольких страницах - крайне простое, лаконичное, и при этом полное решение всех этих вопросов в пространстве волновых векторов. Надо только научиться преобразовывать по Фурье источники. Начните с прямой мировой линии, и потом рассмотрите ломаную из двух лучей.
