Олимпиадная задача на нахождение объёма поверхности

[ProPupil]

Немного переделал условие задачи одной прошлогодней олимпиады. Думаю, срок давности уже прошёл, но предосторожность не помешает.

Найти объём вертикального цилиндрического тела, построенного на единичном круге $x^2+y^2 \leq 1$ и ограниченного сверху куском поверхности $z = \exp\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\cos \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

[mihiv]

Перейдем к цилиндрическим координатам. После интегрирования по $r$ получим:

$$V=\frac 12\int \limits _0^{2\pi }\exp (\cos \varphi )\cos (\sin \varphi )d\varphi $$

Интеграл по углу равен

$$Re\int \limits _0^{2\pi }\exp (\cos \varphi +i\sin \varphi )d\varphi .$$

Вводя комплексную переменную $z=e^{i\varphi }$, сведем его к действительной части интеграла по контуру:

$$-i\int \limits _{|z|=1}\dfrac {e^z}{z}dz$$

Этот интеграл находится с помощью вычетов и равен $2\pi $, поэтому объем равен $V=\frac 122\pi =\pi $.

[ewert]

(Оффтоп)

это всё лишнее: объём любой поверхности равен нулю...

[mihiv]

(Оффтоп)

В условии про поверхность ничего не сказаною

[ProPupil]

Верно Правда, тут ещё возникает смежный вопрос:

как можно по-другому увидеть, что

$$\int\limits_0^{2\pi} e^{\cos \varphi} \sin \sin \varphi\,d\varphi = 0$$

, как следует из применения теоремы о вычетах.

[Ms-dos4]

ProPupil
Сделать замену $\[\varphi = \psi - \pi \]$, получить $\[ - \int\limits_{ - \pi }^\pi {{e^{ - \cos \psi }}\sin (\sin \psi )d\psi } \]$. Под интегралом очевидно нечётная функция, поэтому он равен нулю.