Какое число никогда не появится?

[Ktina]

На доске записано число 1.
Если на доске записано число $n$, разрешается записать также любое из чисел

$$2n+2,\quad 3n+4,\quad 4n+6,\quad 5n+8,\quad 6n+10,\quad n-11$$

Какое наименьшее натуральное число никогда не появится на доске?

[NSKuber]

Девятка.
Все предыдущие нетрудно получить самостоятельно вручную.

Пусть $x=11k+9$. Предположим, что мы можем получить его первой операцией. Тогда $x-2$ делится на $2$, то есть $k+1$ делится на $2$, значит $k$ нечётно. Отсюда $n=\frac{x-2}{2}=\frac{11k+7}{2}=\frac{11(k-1)}{2}+\frac{11+7}{2}=11\frac{k-1}{2}+9$.
Предположим, что мы можем получить его второй операцией. Тогда $x-4$ делится на $3$, то есть $2k+2$ делится на $3$, значит $k\equiv 2 \mod 3$. Отсюда $n=\frac{x-4}{3}=\frac{11k+5}{3}=\frac{11(k-2)}{3}+\frac{22+5}{3}=11\frac{k-2}{3}+9$.
Предположим, что....

В общем, остальные случаи разбираются аналогично.

Предположим теперь, что мы получили девятку. Легко убедиться, что какой-либо из первых операций её получить нельзя, а только уменьшением $20$ на $11$.
Значит у нас есть двадцатка, и получили мы её ДО девятки. Одной из первых операций её можно получить только из девятки, которой у нас ещё нет, значит двадцать мы тоже получили уменьшением на $11$. $\ldots$
Пусть $11k_0+9$ - наименьшее число вида $11k+9$, которое мы получили не уменьшением на $11$. Такое обязательно существует, так как мы можем совершить лишь конечное число шагов. По (частично) доказанному выше, увеличением мы его могли получить лишь из меньшего числа такого же вида, а его у нас ещё нет, противоречие. Значит обойдёмся без девятки.

[12d3]

Чуточку короче.
Пусть мы записывали какие-то числа на доске. Увеличим все эти числа на 2. Тогда относительно увеличенных чисел первые пять операций будут соответствовать умножению на 2, 3, 4, 5, 6, а последняя операция - так же вычитание 11. Такими операциями из числа, не кратного 11 нельзя получить число, кратное 11. Наименьшее число, кратное 11 - это 11. Соответственно, до замены чисел вместо 11 будет девятка.

[Ktina]

NSKuber
12d3
Спасибо!

Да, можно получить все целые числа, кроме лишь тех, что дают остаток 9 при делении на 11.
Наименьшим таким натуральным числом как раз и является число 9.

Хотелось бы обрадоваться вашим предложениям по усложнению данной задачи.