Свёртка индикаторов 1_A*1_A*1_-2N в док-ве теоремы Рота

[fractalon]

Изучил я одно из доказательств теоремы Рота (о том, что в множестве с положительной плотностью есть трёхчленная арифметическая прогрессия).
Там рассматривается, ясное дело, произвольное плотное $A \subset \{1,2,\dots,n\}$, для которого доказывается утверждение.
И всё там хорошо, да только вот в одном месте автор для дальнейшего доказательства неожиданно констатирует ${1_A} * {1_A} * {1_{\{-2,-4,\dots,-2n\}}(0)=|A|$. Звёздочка здесь означает свёртку, то есть $(f*g)(n)=\sum \limits_{m_1+m_2=n} {f(m_1)g(m_2)}$. Единицы с индексами - индикаторы множества, ${1_A}(n)=1$ если $n \in A$, а иначе равно нулю.
Фактически утверждение автора предполагает, что сумма любых двух элементов множества $A$ чётна, то есть все элементы там одинаковой чётности. И вот в этом непонятка.

Это предположение, что называется, из класса "не теряя общности"? Из верности теоремы для множеств, например, только из чётных чисел можно вывести общий случай?
Или это всё таки пробел/опечатка в доказательстве?

Вот на всякий случай полный текст того доказательства, хотя я сомневаюсь, что в моём вопросе есть влияние общей схемы.
http://www.chebyshev.spb.ru/userfiles/file/vsn201014.pdf