Посчитать предел

[fd8]

Помогите, пожалуйста, посчитать простой предел:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x^2}}$$

Применить замечательный предел

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$$

нельзя, т.к. степень в данном случае стремится к бесконечности. Не могу придумать, как с этим побороться...

[NSKuber]

Для начала сделайте замену $t=\frac{1}{x^2}$

[fd8]

И после этого отношение $\frac{t}{e^t}$ будет стремиться к 0, т.к. $e^t$ при $t\to\infty$ стремится к бесконечности быстрее, чем t, верно?

[NSKuber]

fd8, верно.

[fd8]

Спасибо!

[gomomorfizm]

fd8
вообще говоря это не совсем строгое доказательство, лучше примените правило Лопиталя

[Lia]

gomomorfizm
Вообще говоря, как раз правило Лопиталя здесь меньше котируется. Вполне нормальное доказательство. Знак бесконечности только необходимо указывать, иначе неверно.

[fd8]

Признаюсь, мне тоже мое доказательство не кажется вполне строгим :), т.к. понятие скорости функции весьма относительно, в результате чего в выводе вполне можно ошибиться.
Lia, подскажите, почему считаете правило Лопиталя здесь недостаточно хорошим к применению (вроде бы выполняются все условия. Или из-за его слишком большой "силы" для такого простого случая?), и где нужно указывать знак бесконечности. Вроде бы у меня стремление к бесконечности в сообщении везде обозначено...

[gomomorfizm]

Lia
Вот вам контрпример $\lim_{x \to \infty}\frac{x^3+3x^2}{x^3+4x^2+7x+9}=1$, но знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель

[Lia]

gomomorfizm
А что принято называть словами "стремится к бесконечности быстрее"?

-- 06.01.2016, 23:11 --

fd8
А куда вообще стремится $e^t$ при $t\to\infty$, Вы можете сказать?

-- 06.01.2016, 23:27 --

fd8 в сообщении #1088555 писал(а):

Признаюсь, мне тоже мое доказательство не кажется вполне строгим :), т.к. понятие скорости функции весьма относительно, в результате чего в выводе вполне можно ошибиться.

Нет, относительная скорость роста вполне строго определяется. (Узнайте как.) И если Вы знаете, что означает по определению "функция растет быстрее, чем другая", то у Вас не должно быть вопросов о строгости обоснования.

[gomomorfizm]

Дорогая Lia, напомню вам, что не я вводил данную терминологию первым, а fd8, поэтому такой вопрос вы должны были сначала адресовать ему. Я и написал, что считаю его терминологию не вполне допустимой для доказательства, т.к. она не является общепринятой.

[Lia]

gomomorfizm в сообщении #1088572 писал(а):

она не является общепринятой.

Вы ошибаетесь.
А поскольку Вы взялись отвечать в учебном разделе, то вопрос я адресую и Вам тоже.

[fd8]

Lia, да, конечно, про знак бесконечности понятно, спасибо.
Про скорость роста - в процессе. Очень хорошо, что затронули этот вопрос.

[gomomorfizm]

Lia
Вы же сами сочли это нормальным доказательством

fd8 в сообщении #1088525 писал(а):

И после этого отношение $\frac{t}{e^t}$ будет стремиться к 0, т.к. $e^t$ при $t\to\infty$ стремится к бесконечности быстрее, чем t, верно?

А теперь спрашиваете меня

Lia в сообщении #1088560 писал(а):

gomomorfizm
А что принято называть словами "стремится к бесконечности быстрее"?

А в следующем сообщении говорите, что это понятие общепринято
Я под этим понимал следующее:
$f(x)$ стремится к бесконечности быстрее $g(x)$ если $\forall x\in\mathbb{R} f(x)>g(x)$
Ладно, закрываем тему.

[Lia]

Я Вас спрашиваю, потому что Вы привели пример, не имеющий отношения к делу: когда порядок роста функций одинаков. Это противоречит общепринятому пониманию термина, как видно даже из названия. Нет, выполнение неравенства - это о другом.