2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 15:13 


06/01/16
5
Дана функция $f(x)=2\sqrt{x}$ , где $0\leqslant x\leqslant1$;

Решал согласно формуле $ l = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}$

Производная от $f(x)$ равна $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Таким образом получаем интеграл:
$\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+\frac{1}{x}}$

Вся проблема состоит в решении этого интеграла.Я пробовал произвести замену $t =\sqrt{1+\frac{1}{x}}$ и сводить к интегрированию рациональной дроби,но там получаются неопределенности в интеграле.Еще пробовал произвести замену $ t^2 = \frac{1}{x}$ и решать как интеграл вида $\int\limits_{}^{}R(x;\sqrt{a^2+x^2})$,но опять же получаются неопределенности.

В общем я окончательно запутался.Помогите пожалуйста с решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 15:32 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
В принципе он берется, но есть еще один вариант. Если вместо длины кривой $y=y(x)$ Вы посчитаете длину кривой $x=x(y)$, результат ведь не изменится, не так ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 16:35 


06/01/16
5
Я получил функцию $x = \frac{y^2}{4}$ ,где $0\leqslant y \leqslant 2$;

И интеграл $\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{y^4}{16}}dx$.

Далее я сделал замену $t =\frac{y^4}{16}$

$\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{1+t^2}}{\sqrt{t}}dt$

Потом я делал замену $z = arctgt $

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{1+tg^2 z}}{cosz}dz$

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dz}{cos^2z}$

Получается единица...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 16:39 


20/03/14
12041
Пределы интегрирования расставьте правильно. $y$ не там меняется.

И функции оформляйте вот так: \cos x, \tg x и т.д.

...ах, $dx$. Вы по $x$ интегрируете, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 16:43 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
lasmor8112 в сообщении #1088487 писал(а):
И интеграл $\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{y^4}{16}}dx$.
В этом случае надо поменять и переменную интегрирования, и пределы. К тому же про необходимость сосчитать производную Вы тоже забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 16:53 


06/01/16
5
Pphantom в сообщении #1088489 писал(а):
lasmor8112 в сообщении #1088487 писал(а):
И интеграл $\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{y^4}{16}}dx$.
В этом случае надо поменять и переменную интегрирования, и пределы. К тому же про необходимость сосчитать производную Вы тоже забыли.


Понял,что написал бред.

$\frac{1}{4}$\int\limits_{0}^{2}y^3\sqrt{1+\frac{y^4}{16}}dy$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 17:00 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
lasmor8112 в сообщении #1088495 писал(а):
$\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}y^3\sqrt{1+\frac{y^4}{16}}dy$
Ну а это откуда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение06.01.2016, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
lasmor8112 в сообщении #1088473 писал(а):
но там получаются неопределенности в интеграле.

А это кто такие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение07.01.2016, 14:41 


06/01/16
5
Pphantom в сообщении #1088497 писал(а):
lasmor8112 в сообщении #1088495 писал(а):
$\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}y^3\sqrt{1+\frac{y^4}{16}}dy$
Ну а это откуда?


Вот конечный интеграл:

$\int\limits_{0}^{2}\sqrt{1+\frac{y^2}{4}}dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение07.01.2016, 15:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
lasmor8112 в сообщении #1088701 писал(а):
Вот конечный интеграл:
Да, теперь правильно. Ну и, как видите, он тривиальной заменой (или даже без нее) приводится к табличному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение07.01.2016, 15:52 


06/01/16
5
Pphantom в сообщении #1088708 писал(а):
lasmor8112 в сообщении #1088701 писал(а):
Вот конечный интеграл:
Да, теперь правильно. Ну и, как видите, он тривиальной заменой (или даже без нее) приводится к табличному.


Я решал методом приведения к самому себе.Вроде все правильно.

Спасибо вам большое!Вы мне очень помогли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение07.01.2016, 20:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lasmor8112 в сообщении #1088473 писал(а):
.Я пробовал произвести замену $t =\sqrt{1+\frac{1}{x}}$ и сводить к интегрированию рациональной дроби,но там получаются неопределенности в интеграле

Ровно так и нужно было делать. Интеграл получается несобственный (разумеется), ну и что с того? Он элементарно берётся стандартным интегрированием по частям. Недостаток этого метода лишь в том, что он проще разобранного (удовольствие не то).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление длины дуги плоской кривой
Сообщение02.03.2024, 02:00 


23/11/18
4
Сделайте замену
$z = 1 + \frac{1}{x}, $

тогда
$dx = - (z-1)^2dz, $

все подставить в исходное выражение и сделать одну итерацию интегрирования по частям. После этого получится очень простое для интегрирования выражение. Я опоздал на каких-то 8 лет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group