2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 10:17 
Необходимо доказать, что идеал порождённый $2$ и $x$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным.
Т.е. не существует такого многочлена $h(x)$, что для любых многочленов $f(x), g(x)$ существует такой многочлен $y(x)$, что
$2f(x)+xg(x)=h(x)y(x)$
Буду рад любой помощи.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 10:31 
Аватара пользователя
RrX в сообщении #1088424 писал(а):
Т.е. не существует такого многочлена $h(x)$, что для любых многочленов $f(x), g(x)$ существует такой многочлен $y(x)$, что
$2f(x)+xg(x)=h(x)y(x)$

Как это "не существует такого многочлена $h(x)$"? :shock: Берем $h(x)=1$ , и мы в шоколадной глазури! :D

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 10:42 
Brukvalub в сообщении #1088428 писал(а):
RrX в сообщении #1088424 писал(а):
Т.е. не существует такого многочлена $h(x)$, что для любых многочленов $f(x), g(x)$ существует такой многочлен $y(x)$, что
$2f(x)+xg(x)=h(x)y(x)$

Как это "не существует такого многочлена $h(x)$"? :shock: Берем $h(x)=1$ , и мы в шоколадной глазури! :D

Видимо, я запутался.

Нужно доказать, что не существует такого многочлена $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, что $(2,x)=(f(x))$.
Выражаясь менее абстрактно, не должно быть $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, что $2\mathbb{Z}[x] + x\mathbb{Z}[x] = f(x)\mathbb{Z}[x]$.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 11:04 
Аватара пользователя
Так стало гораздо лучше! Теперь нужно понять, какое множество многочленов с целыми коэффициентами записано в левой части гипотетического "равенства"
RrX в сообщении #1088429 писал(а):
$2\mathbb{Z}[x] + x\mathbb{Z}[x] = f(x)\mathbb{Z}[x]$

Первое слагаемое - это все многочлены с только четными коэффициентами, второе - все многочлены без свободного члена. Суммой будут все многочлены с четным свободным членом. Почему множество всех многочленов с целыми коэффициентами и четным свободным членом нельзя представить в том виде, который записан в правой части вашего "равенства"?

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 12:15 
Brukvalub
Хороший вопрос. Действительно, почему? :?:

Попробую посмотреть, какие $f(x)$ могли бы подойти на роль, если бы можно было представить. Очевидно, что $f(x)$ с нечётным свободным членом не подходит, ибо тогда $f(x)\mathbb{Z}[x]$ будет содержать многочлены с нечётными свободными членами. Тогда пусть $f(x)$ - некий многочлен с чётным свободным членом.

Тогда нужно доказать, что какой бы ни был многочлен $f(x)$ с четным свободным коэффициентом, $f(x)\mathbb{Z}[x]$ не будет содержать все многочлены из $\mathbb{Z}$ с четным свободным коэффициентом. Пока не знаю, как.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 12:46 
RrX
Какое свойство присуще всем многочленам из $f(x)\mathbb{Z}[x]$? Каким должен быть $f(x)$, чтобы все многочлены с чётным свободным членом этим свойством обладали?

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 13:43 
NSKuber
Свойства? Они все являются произведением $f(x)$ и другого многочлена. Они делятся без остатка на $f(x)$.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 13:54 
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 15:33 
Аватара пользователя
NSKuber в сообщении #1088459 писал(а):
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?
Заострю затуплю вопрос: хто делит многочлен $2$ ? :shock:

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 16:30 
Brukvalub в сообщении #1088477 писал(а):
NSKuber в сообщении #1088459 писал(а):
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?
Заострю затуплю вопрос: хто делит многочлен $2$ ? :shock:

Собственно, многочлены $2$ и $1$.
NSKuber в сообщении #1088459 писал(а):
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?

Не знаю, но, наверное, это не все многочлены. Но надо доказать же.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 16:43 
RrX
Вы это только что доказали, чуть выше. Многочлен $2$ же тоже лежит в данном кольце.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 17:06 
Аватара пользователя
Ну, если и сейчас решения еще нет, то это печально...Дальнейшие подсказки будут расценены как развращение! :cry:

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 17:36 
По идее да, всё сходится.
$2 \in (2,x)$. Значит $2$ должно делиться на $f(x)$, следовательно, $f(x) = 2$ или $f(x)=1$ Но при $f(x) = 2$ мы получаем далеко не все многочлены с четным свободным членом, а при $f(x) = 1$ получаем все кольцо $\mathbb{Z}[x]$.

 
 
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 18:00 
Аватара пользователя
Верно!

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group