Формула Коши

[prof.uskov]

Есть ли какое-нибудь физическая аналогия, делающая понятной формулу Коши:

$f(z)= \frac{1 }{2 \pi i}\int\limits_{\l} \frac {f(\xi)}{\xi-z}d\xi $

[ewert]

prof.uskov в сообщении #1088354 писал(а):

Есть ли какое-нибудь физическая аналогия, делающая понятной формулу Коши:

Нет. ТФКП как таковая к физике никакого отношения не имеет (то, что она в ней частенько полезна -- это уже вопрос совершенно следующий).

Можно, конечно, попытаться приплесть сюда теорему типа Стокса для двумерного точечного заряда. Но это будет не более чем объяснение непонятного через неизвестное. Ну или наоборот; это уж как Вам больше понравится.

[prof.uskov]

ewert в сообщении #1088374 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1088354 писал(а):

Есть ли какое-нибудь физическая аналогия, делающая понятной формулу Коши:

Нет. ТФКП как таковая к физике никакого отношения не имеет (то, что она в ней частенько полезна -- это уже вопрос совершенно следующий).
Можно, конечно, попытаться приплесть сюда теорему типа Стокса для двумерного точечного заряда. Но это будет не более чем объяснение непонятного через неизвестное. Ну или наоборот; это уж как Вам больше понравится.

Не нужно строго, нужна всего лишь иллюстрация, какой-то наглядный образ.
Вот в интегральной теореме Коши
$\int\limits_{\l} f(z)dz =0$,
из которой и выводится формула Коши, усматривается работа некой силы по замкнутому контуру.

[ewert]

prof.uskov в сообщении #1088381 писал(а):

усматривается работа некой силы по замкнутому контуру.

Да, усматривается. Но чересчур уж долго усматривается. Это мало того, что надо переводить функцию в поле, но надо и ещё всякие там касательные векторы в нормальные. Ну или наоборот; не важно. Важно лишь то, что игра не стоит свечек.

Не говоря уж о том, что и сама по себе двумерность -- не вполне физична.

-- Ср янв 06, 2016 01:39:05 --

Дополню. Я так понял, что Вы озабочены наглядностями ТФКП. А о них не надо слишком уж заботиться. С одной стороны, она сама по себе вполне математически прозрачна даже и для инженерОв. А с другой -- о наглядности следовало заботиться раньше, в курсе матана (где криволинейные интегралы, и эта часть курса идёт заведомо ранее, чем ТФКП). Вот там -- физические приложения как раз более чем уместны. Ну а потом -- к ним уже все привыкли, и чего уж наводить тень на плетень. При случае -- можно, да; но это -- явно не тот случай.

[Евгений Машеров]

Если только иллюстрация... Поручили Вам измерить что-то в точке z. А туда Вас сторож не пускает, хотя Вы и уверенны, что там ничего особенного нет, вот и ходите вокруг, измеряя параметр вдоль замкнутого пути L и усредняя значения. Чем дальше данная точка пути от искомой z, тем с меньшим весом войдёт, отсюда знаменатель подынтегрального выражения. А $2\pi i$ перед интегралом оттого, что обходим по кругу, отсюда Пи, и пересчитываем угловые координаты в декартовы, а там $z=x+iy=\rho e^{i\varphi}$, вот при замене переменных мнимая единица и появилась.
Только это не доказательство, и сомневаюсь, что "прояснение". Максимум - мнемоника, чтобы легче запомнить.

[alcoholist]

кмк, сначала разобраться надо с "аналитичностью" с точки зрения физики... условия Коши-Римана похожи на какую-то потенциальность

[prof.uskov]

Евгений Машеров, это Вы сейчас сходу придумали, или позаимствовали где?
Идея хорошая, но у Вас получается аппроксимация (предсказание) значения функции в точке, а формула Коши не приблизительная, а точная.

Откуда собственно проблема. С помощью формулы Коши, можно определить не только значения функции, но и ее производных любого порядка, а это один из способов введения дробных производных.

-- 06.01.2016, 12:08 --

alcoholist в сообщении #1088431 писал(а):

кмк, сначала разобраться надо с "аналитичностью" с точки зрения физики... условия Коши-Римана похожи на какую-то потенциальность

Условие Коши-Римана не является неожиданным, вполне понято как оно получается.

[ewert]

alcoholist в сообщении #1088431 писал(а):

условия Коши-Римана похожи на какую-то потенциальность

Это ровно и есть потенциальность: аналитичность функции равносильна равенству нулю контурных интегралов.

Только физика тут не при чём -- это математическая потенциальность.

[prof.uskov]

ewert в сообщении #1088437 писал(а):

[
Только физика тут не при чём -- это математическая потенциальность.

Под физическими аналогиями в своем первом посте я имел в виду наглядные представления, а не физику.

-- 06.01.2016, 13:50 --

Евгений Машеров в сообщении #1088422 писал(а):

Если только иллюстрация... Поручили Вам измерить что-то в точке z. А туда Вас сторож не пускает, хотя Вы и уверенны, что там ничего особенного нет, вот и ходите вокруг, измеряя параметр вдоль замкнутого пути L и усредняя значения. Чем дальше данная точка пути от искомой z, тем с меньшим весом войдёт, отсюда знаменатель подынтегрального выражения. А $2\pi i$ перед интегралом оттого, что обходим по кругу, отсюда Пи, и пересчитываем угловые координаты в декартовы, а там $z=x+iy=\rho e^{i\varphi}$, вот при замене переменных мнимая единица и появилась.
Только это не доказательство, и сомневаюсь, что "прояснение". Максимум - мнемоника, чтобы легче запомнить.

Есть некоторая гористая местность и есть точка А высоту которой мы не знаем. Мы обходим эту точку по замкнутому контуру, на каждом шаге умножая длину шага на высоту места в котором находимся и деля на расстояние от нашего места до интересующей точки А и все это прибавляем к уже имеющейся сумме. Обошли контур, поделили полученную сумму на $2 \pi i и вот чудо, получили высоту точки А. Как это работает?

[Евгений Машеров]

А теперь вопрос - почему функция, описывающая высоту горушки, аналитической не является?

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1088825 писал(а):

А теперь вопрос - почему функция, описывающая высоту горушки, аналитической не является?

Если функция неаналитическая, то формула Коши не работает.

[Brukvalub]

prof.uskov в сообщении #1089009 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1088825 писал(а):

А теперь вопрос - почему функция, описывающая высоту горушки, аналитической не является?

Если функция неаналитическая, то формула Коши не работает.

Вот и не надо пытаться осмысливать формулу на таком примере, в котором эта формула "не работает".