Формула Коши в теореме Лагранжа, конечные приращения, I сем

[dmitry4xy]

Здравствуйте!
Для доказательства теоремы Лагранжа используется вспомогательная функция

$F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a)$

Дается она так: "Введем вспомогательную функцию...". Причем так абсолютно во всех учебниках, что я проверял (Краснов-Киселев, Ильин-Позняк).
Вопрос: откуда "берется" эта вспомогательная функция, откуда она тут всплывает? В Краснове-Киселеве она на следующей странице названа "Формулой Коши". Гугл ответов не дал.

[Pphantom]

С одной стороны, никто не сказал, что доказательство, изложенное в учебнике, должно быть очевидным. С другой - если немного подумать, можно понять, каков смысл введения ее именно в таком виде. Начните, например, с такого вопроса: какими свойствами будет обладать $F(x)$ и чему равны $F(a)$ и $F(b)$?

[dmitry4xy]

Паучье чутье говорит мне, что данная функция должна удовлетворять критерием функции из теоремы Ролля. Непрерывность и дифференцируемость понятны. F(a) = 0 -- очевидно. А вот равенство нулю F(b) вообще не очевидно. Последний шажок, вроде, а не очевидно...

[Pphantom]

dmitry4xy в сообщении #1088286 писал(а):

Последний шажок, вроде, а не очевидно...

Хм... а просто подставить в определение $x=b$ и посмотреть, что получится?

[dmitry4xy]

Черт
Воистину. Я понял эту жизнь.
Спасибо за корректировку мысленных потоков!

[ex-math]

dmitry4xy
Посмотрите картинку, которой обычно иллюстрируют теорему Лагранжа. Чтобы получить ситуацию теоремы Ролля, надо эту картинку "уложить" так, чтобы хорда стала горизонтальной. Это достигается вычитанием соответствующей линейной функции. А уж уравнение хорды Вы сможете написать. Вот и вся идея.

[ewert]

dmitry4xy в сообщении #1088266 писал(а):

Вопрос: откуда "берется" эта вспомогательная функция, откуда она тут всплывает?

Эта функция называется интерполяционным многочленом первой степени. И вводится она, вообще говоря, ещё в школе (там есть такая тема -- проведение прямой через две заданные точки; ну, правда, там она интерполяционной не называется, так и не обязательно ж называть чёрта по имени).

И да, конечно, суть именно в сведении к Роллю. Надо выпрямить график; а что может быть для этого естественнее, чем вычитание подходящей линейной функции, с производными которой заведомо всё ясно?... Так что ровно такая функция автоматом и выплывает.

Конечно, то, что в каком-нибудь учебнике внимание на этом не акцентируется -- да, это дефект учебника.

[gomomorfizm]

dmitry4xy

(Оффтоп)

Почитайте Зорича или Кудрявцева лучше

[ewert]

(Оффтоп)

gomomorfizm в сообщении #1088304 писал(а):

Цитата:

Почитайте Зорича или Кудрявцева лучше

Они действительно поясняют геометрический смысл, и это они молодцы. Но дают это уже апостериори, и за это уже не похвалю: у них функция тоже выскакивает всё-таки как чёртик из табакерки. Ну, может, пару строчек сэкономить решили.

[dmitry4xy]

ex-math

Действительно! О графической интерпретации совсем забыл. Ваш ответ очень хорошо дополнил ewert, за что ему огромное спасибо тоже.

Теперь душа спокойна :)

А вашим gomomorfizm советом обязательно воспользуюсь!