Задача о непрерывном отображении плоскости

[Mikhail_K]

Задача. Доказать, что не существует (всюду определённого) непрерывного отображения $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ такого, что для каждого $y\in\mathbb{R}^2$ прообраз $f^{-1}(y)$ либо пуст, либо состоит ровно из двух точек.

Наверное, доказывать надо от противного. Если $f$ - требуемое отображение, то у каждой точки $x\in\mathbb{R}^2$ есть её "двойник" $\varphi(x)$, такой что $\varphi(x)\neq x$ и $f(\varphi(x))=f(x)$. К сожалению, отображение $\varphi$ не обязано быть непрерывным. Интересное наблюдение: при $x_n\to x_0$ последовательность $\{\varphi(x_n)\}$ может иметь только следующие предельные точки: $x_0$, $\varphi(x_0)$, $\infty$.

Возможно, стоит соединить $x$ и $\varphi(x)$ непрерывным контуром и рассматривать образ этого контура, или же "двойников" точек контура. Возможно, стоит взять точку $y\in\mathbb{R}^2$ и рассматривать прообразы её открытых окрестностей, например исследовать их на связность. Возможно, стоит использовать понятие степени отображения или что-то вроде того.

Никакую из этих идей мне не удалось развить. Не знаю, что делать с этой задачей.

[Mikhail_K]

Не знаю, кстати, насколько эта задача сложна и насколько она олимпиадная. Может быть, стоит перенести тему в "Помогите решить/разобраться". А может, стоит оставить здесь.