2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пятые степени цифр
Сообщение03.01.2016, 12:00 


22/07/12
560
Есть задачка:

Удивительно, но существует только три числа, которые могут быть записаны в виде суммы четвертых степеней их цифр:
$$    1634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4 $$
$$    8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4 $$
$$    9474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4 $$
$1 = 1^4$ не считается, так как это - не сумма.

Сумма этих чисел равна $1634 + 8208 + 9474 = 19316$.
Найдите сумму всех чисел, которые могут быть записаны в виде суммы пятых степеней их цифр.

Решать можно как угодно, имеется ввиду не обязательно чисто аналитически найти все эти числа, можно и программно. Я так и собираюсь, но мне нужна верхняя оценка этих чисел. Тогда я мгновенно переберу, например, 100 000 чисел и получу ответ. Проблема в том, как мне получить эту самую верхнюю оценку?

-- 03.01.2016, 12:13 --

Хотя для начала стоит как-нибудь вообще доказать, что эта верхняя граница есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение03.01.2016, 12:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

main.c в сообщении #1087721 писал(а):
$1 = 1^4$ не считается, так как это - не сумма.
Нематематично. Чем сумма из одного (или нуля) слагаемых хуже остальных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение03.01.2016, 13:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
100000 маловато будет, наверное. Но более, чем шестизначных, уж конечно нет. $6\cdot 9^5=354294$ Ну и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение03.01.2016, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, показать существование верхней границы просто. Число из n разрядов (принимая старший ненулевым) не менее $10^{n-1}$, а сумма девятых степеней его цифр не более $n 9^5=59049n$. То есть существует такое n, что заведомо число выше суммы его цифр. Можно, видимо, получить и более точную оценку, чем $n=7$. Но надо ли? Перебор цифр до миллиона займёт меньше времени, чем написание программы.
Да, и если учитывать и тривиальные решения, чем $0^4=0$ хуже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение03.01.2016, 15:19 


22/07/12
560
Спасибо, я уже нашёл все числа, вот только хочется теперь строго найти верхнюю оценку.
Назовём функцию, которая суммирует все цифры в числе, возведенные в 5 степень $f_1(x)$, а функция $f_2(x) = x$. Тогда:
$f_1(x) \leq g(x) = (\lg_{10}x + 1) \cdot 9^5$
$g'(x) = \frac{9^5}{x\ln10}$
$f_2'(x) = 1
Уже при $x >100000 \quad g'(x) < f_2'(x)$, начиная ровно с $x = 389140 \quad g(x) < f_2(x)$, то есть $\forall x \geq 389140 \quad f_1(x) < f_2(x)$
Вроде бы нигде не ошибся)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение03.01.2016, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Раз первая цифра не больше тройки, то оценку можно улучшить до $299999$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение04.01.2016, 16:46 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
main.c,
посмотрите ММ71

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение04.01.2016, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Но постановка задачи там другая…

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение04.01.2016, 19:50 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Someone в сообщении #1088031 писал(а):
Но постановка задачи там другая…
Я и не утверждал, что та же. Но близкая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение04.01.2016, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Но решений в постановке топикстартера намного больше, и не видно ограничений на степень. Хотя, конечно, его постановка задачи не новая: https://oeis.org/A046761/b046761.txt.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение04.01.2016, 22:32 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Someone в сообщении #1088083 писал(а):
Но решений в постановке топикстартера намного больше, и не видно ограничений на степень.
Не понял!
Разве постановка ТС не ограничивается частным случаем? А именно числами равными суммам 5-х степеней своих цифр в десятичной системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пятые степени цифр
Сообщение05.01.2016, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
VAL в сообщении #1088119 писал(а):
Разве постановка ТС не ограничивается частным случаем? А именно числами равными суммам 5-х степеней своих цифр в десятичной системе.
Ну, там у него и четвёртая степень упоминается…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group