|
Сначала известная конструкция. Берём произвольное множество А. Берём булеву алгебру всех его подмножеств. Берём множество ультрафильтров на А, они соответствуют гомоморфизмам этой булевой алгебры в алгебру из двух элементов. Это множество ультрафильтров является Стоун-Чеховским расширением множества А с дискретной топологией. Оно является неким экстремальным среди всех компактных хаусдорфовых расширений А.
Теперь слегка изменим конструкцию. Начинаем с частично упорядоченного множества А. Берём семейство всех его подмножеств, обладающих таким свойством: вместе с любым элементом x подмножество включает все элементы, большие чем x. Такие подмножества, упорядоченные по включению, образуют дистрибутивную решётку (на самом деле даже алгебру Гейтинга). Гомоморфизмы этой решётки в решётку из двух элементов называются простыми фильтрами, в общем случае их больше, чем максимальных фильтров (для булевых алгебр это одно и то же, ультрафильтры). Множество простых фильтров с естественным порядком является расширением упорядоченного множества А. Какими экстремальными свойствами вроде Стоун-Чеховских оно обладает? Вопрос, видимо, решённый, но где почитать?
|
31.12.2015, 22:51 