Гармонический осциллятор и не только.

[Forthegreatprogress]

Здравствуйте, уважаемые физики.
Вопрос такой.
Что такое собственная частота колебаний двухатомной молекулы ? Нигде определения точного не нашел. К примеру, я понимаю , что такое частота колебаний шарика на пружине - число его колебаний в единицу времени, причем я понимаю что такое одно колебание этого шарика.
Что же тогда такое собственная частота колебаний двухатомной молекулы ? Что такое одно колебание молекулы ?
Мои мысли таковы : я записал уравнение динамики для каждого атома двухатомной молекулы , используя условие неподвижности центра масс , нашел собственную частоту для каждого атома. Они оказались равны. То есть по-моему , собственная частота колебаний молекулы равна собственной частоте каждого атома.
Далее я прочел про ''сцепленную'' с поверхностью двухатомную молекулу. Причем можно вообразить то , что эта ситуация ничем не отличается от колебаний свободной двухатомной молекулы , только лишь масса сцепленного атома будет бесконечно большой. Тогда я опять записал уравнение динамики каждого атома, и получилось, что частоты колебаний обоих атомов опять равны!!!!
То есть атом с бесконечно большой массой , и атом с маленькой массой колеблются с одной частотой.
Это меня очень насторожило , поэтому я и задаю этот вопрос Вам.

[Munin]

Forthegreatprogress в сообщении #1087297 писал(а):

Далее я прочел про ''сцепленную'' с поверхностью двухатомную молекулу.

Где вы про это прочли? С большой вероятностью, это к делу вообще отношения не имеет.

----------------

Вообще, "частоты" двух атомов и не могут быть разными. Ведь центр масс молекулы остаётся на месте, а значит, оба атома колеблются совершенно одинаково по времени, какими бы ни были их массы.

В физике такую систему рассматривают иначе: разделением переменных. Допустим, у вас есть атомы с положениями $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2.$ Для них вы записываете систему уравнений динамики, ну пускай, 2-й закон Ньютона:

$$\begin{cases} m_1\dfrac{d^2\mathbf{r}_1}{dt_{\vphantom{1}}}=\mathbf{F}_{12}\\ m_2\dfrac{d^2\mathbf{r}_2}{dt}=-\mathbf{F}_{12}. \end{cases}$$

Эти уравнения можно сложить и вычесть, и получить эквивалентную систему:

$$\begin{cases} m_1\dfrac{d^2\mathbf{r}_1}{dt_{\vphantom{1}}}+m_2\dfrac{d^2\mathbf{r}_2}{dt}=0\\ m_1m_2\Bigl(\dfrac{d^2\mathbf{r}_1}{dt}-\dfrac{d^2\mathbf{r}_2}{dt}\Bigr)=(m_1+m_2)\mathbf{F}_{12}. \end{cases}$$

Теперь, введя новые переменные

$$\begin{cases} \mathbf{r}_\text{ц.м.}=\dfrac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}\\ \mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2, \end{cases}$$

мы получаем, что система уравнений распадается на два независимых уравнения:

$$\begin{cases} \dfrac{d^2\mathbf{r}_\text{ц.м.}}{dt_{\vphantom{1}}}=0\\ \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{F}_{12}. \end{cases}$$

Про это говорят так: вычленив движение центра масс, и перейдя в систему отсчёта центра масс, мы свели задачу двух тел к задаче одного тела - точки с так называемой приведённой массой $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}.$ Первое уравнение имеет банальное решение: центр масс движется прямолинейно и равномерно, по 1-му закону Ньютона. А вот второе уравнение - как раз и содержит в себе все относительные движения двух точек.

При этом, очевидно, частота колебаний должна остаться только одна-единственная, потому что больше нечему колебаться.

-- 31.12.2015 13:55:30 --

Если масса одного из двух тел стремится к бесконечности, то приведённая масса остаётся конечной и стремится к массе другого тела. То есть, эта конструкция выдерживает такой предельный переход.

-- 31.12.2015 13:57:58 --

Если два тела взаимодействуют не только между собой, но и находятся под действием каких-то внешних сил, то такой фокус не проходит. Исключение мне приходит в голову только одно: однородное поле силы тяжести.

[Forthegreatprogress]

отлично , большое спасибо.
У меня есть еще один вопрос, связанный с нормальными модами. Мне на экзамене отвечать , если я вдруг ниже ошибусь в рассуждениях , поправьте пожалуйста .
Вот у меня есть система из связанных осцилляторов . Я записываю 2-й закон Ньютона для каждого атома по отдельности . Правда , решением данных дифференциальных уравнений не будут гармонические функции , и значит их описывать ''неудобно''. В связи с этим я делаю математический ''финт ушами'' , складываю свои уравнения и ввожу новые переменные таким образом , чтобы получить новую систему дифференциальных уравнений , решением которых будут гармонические функции. Эти нормальные моды являются набором характерных для данной системы типов гармонических колебаний.
Так вот, далее вопросы. Допустим возбуждена только одна нормальная мода. Тогда частоты колебаний каждого атома будут равны частоте данной нормальной моды. Допустим возбуждены две. Тогда с какой частотой будет колебаться отдельный атом ?
Сначала я предположил, что просто сумме частот двух мод. Но как по мне это бред, по ряду причин.

Второй вопрос. К примеру у нас есть гармоническая функция , описывающая отклонение от положения равновесия 1-го атома, в зависимости от времени. Тут всё ясно, это можно ''пощупать''. Тогда напрашивается вопрос , а что КОНКРЕТНО описывает нормальная мода? Что описывает набор нормальных мод данной системы ? Что такое ''энергия'' нормальной моды.

Прошу помочь , тема очень невнятная. Если к примеру в затухающих колебаниях всё понятно и наглядно , здесь куча вопросов.
Спасибо.
-- 31.12.2015, 15:45 --

Munin в сообщении #1087303 писал(а):

Где вы про это прочли? С большой вероятностью, это к делу вообще отношения не имеет.

в книге по колебаниям, автор - Козлов С.Н.
Это МГУшный учебник для химического факультета.

[Munin]

Forthegreatprogress в сообщении #1087315 писал(а):

Так вот, далее вопросы. Допустим возбуждена только одна нормальная мода. Тогда частоты колебаний каждого атома будут равны частоте данной нормальной моды. Допустим возбуждены две. Тогда с какой частотой будет колебаться отдельный атом ?
Сначала я предположил, что просто сумме частот двух мод. Но как по мне это бред, по ряду причин.

Тут надо от новых переменных перейти к старым, по тем же формулам перехода в обратную сторону.

Выяснится, что старая переменная - координата отдельного атома - это сумма нескольких новых переменных. И когда новые переменные колеблются, каждая со своей частотой, то старая переменная - испытывает сумму колебаний с разными частотами. Постройте график функции в духе $A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2),$ и вы увидите, как на самом деле движется отдельный атом.

У такого колебания нет частоты. Потому что оно просто не гармоническое, не синусоидальное. И вообще непериодическое! (В редком случайном случае, когда такое колебание периодическое, то есть отношение между частотами рациональное, то тогда период будет $\NOK(T_1,T_2),$ а итоговая частота - обратной ему.) Если частоты близкие - то будут биения, с частотой несущей - полусуммой частот, и с частотой биений - полуразностью. Ну а если мод возбуждено несколько - то вообще катавасия.

Forthegreatprogress в сообщении #1087315 писал(а):

Второй вопрос. К примеру у нас есть гармоническая функция , описывающая отклонение от положения равновесия 1-го атома, в зависимости от времени. Тут всё ясно, это можно ''пощупать''. Тогда напрашивается вопрос , а что КОНКРЕТНО описывает нормальная мода? Что описывает набор нормальных мод данной системы ? Что такое ''энергия'' нормальной моды.

Нормальная мода описывает один из вариантов колебаний всей системы как целого. У каждой моды - своя частота (а не энергия - энергию можно закачать разную, хотя в квантовом случае есть квант энергии $E=\hbar\omega$). Кроме того, каждая мода отвечает какой-то отдельной разновидности колебаний.

Например, пусть у нас есть 4-атомная молекула в виде цепочки. Тогда одна мода колебаний может отвечать такому смещению атомов (в один полупериод): $\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow,$ а другая - такому: $\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow.$

В общем, тут рекомендуется немножко подкачать математику:
- линейная алгебра;
- преобразования Фурье;
- дифференциальные уравнения.
И потом можно почитать ЛЛ-1 § 23.
Физический принцип суперпозиции соответствует математическому свойству линейности дифура или системы дифуров.

[Forthegreatprogress]

отлично, Вы мне всё прояснили. Всё очень здорово.
Большое Вам спасибо , и с праздником!

[Munin]

Каждый раз приятно слышать благодарность :-)
(Почему-то это случается реже, чем я стараюсь что-то объяснить...)