Помогите продолжить фразу

[sqribner48]

Здравствуйте. В интернете очень часто натыкаюсь на следующую фразу:

Цитата:

«Можно иметь несколько разных переменных, обозначая их одной буквой, аналогично использованию надстрочных знаков. ... Однако, когда в виде индекса пишется другая переменная и выражение, данная запись интерпретируется как «переменная с....»

Но нигде не могу найти ее окончание. Мне надо знать «Можно иметь несколько разных переменных, обозначая их одной буквой, аналогично использованию надстрочных знаков" в каких случаях это можно, а в каких нельзя.
Хочется узнать и про это "Однако, когда в виде индекса пишется другая переменная и выражение, данная запись интерпретируется как «переменная с....»
Так как все-таки она интерпретируется?
Помогите пожалуйста. Буду чрезвычайно признателен за помощь или действующую ссылку

[whitefox]

Сюда.

[sqribner48]

Спасибо.
Прочитал много текстов на эту тему. Но этих строк почему-то не увидел. Видно глаз "замылился"

[sqribner48]

whitefox
А можно ли в сложных выражениях с многочисленными верхними и нижними индексами
часть из них заменять точками. При этом подразумевается, что индексы, замененные точками, пробегают все свои значения?
Где-то я видел подобный прием, но никак не вспомню где.

[Munin]

Обычно для индексов нужны все их имена. Например, $A^i_j=B_k C^{ik}_j$: здесь $k$ связывается по имени по одну сторону знака равенства, а $i,j$ - между двумя сторонами.

[arseniiv]

sqribner48
Если у вас куча индексов, но они более-менее целое, гляньте мультииндексы. Может, пригодятся.

[sqribner48]

arseniiv в сообщении #1087207 писал(а):

sqribner48
Если у вас куча индексов, но они более-менее целое, гляньте мультииндексы. Может, пригодятся.

Да нет, у меня не такая большая куча индексов. Всего один нижний индекс и два верхних

Munin в сообщении #1087204 писал(а):

Обычно для индексов нужны все их имена. Например, $A^i_j=B_k C^{ik}_j$: здесь $k$ связывается по имени по одну сторону знака равенства, а $i,j$ - между двумя сторонами.

Да и связей таких мощных в обе стороны нет.

Есть что-то типа того:
$\forall G^{i,j}_{n+1} \forall w^{i,j}_{n+1} \in E(G^{i,j}_{n+1}) \; d(s_{n+1},L_{n+1}) >d(w^{i,j}_{n+1},G^{i,j}_{n+1})$
Здесь дистанция вершины $s_{n+1}$ некоторого $(n+1)$-вершинного графа $L_{n+1}$ больше дистанции любой $j$-той вершины $(j=1,2,\dots,n)$ каждого $i$-го $(n+1)$-вершинного графа $G^{i,j}_{n+1}$ где $i =1,2,\dots,k$
Вопрос о том, могу ли я для упрощения в правой части выражения верхние индексы заменить точками

$$d(s_{n+1},L_{n+1}) >d(w^{..}_{n+1},G^{..}_{n+1}),$$

(или вообще без них), а перед выражением все эти $\forall$ заменить текстовой фразой "для любой вершины ... любого графа ... выполняется неравенство"

[arseniiv]

Стоит начать с $\forall A_i\forall B_i$. Что это означает — там одна и та же $i$ или независимые? Не могу отрицать тенденцию писать $\forall A_i.\,\text{что-то от }A_i$ (∗), которая не очень-то корректна, но обычно всеми понимается как сокращение от $\forall i\in\text{индексы}.\,\text{что-то от }A_i$, но в данном случае однозначность понимания уже пропадает. Кстати, (∗) обычно можно записать без индексов и даже более прозрачно как $\forall A\in\mathcal A.\,\text{что-то от }A$, где $\mathcal A$ — это при нормальном ходе дела всё-таки где-то выше уже упомянутый класс, из которого берутся $A$.

[sqribner48]

Уважаемый arseniiv

arseniiv в сообщении #1087337 писал(а):

Стоит начать с $\forall A_i\forall B_i$. Что это означает — там одна и та же $i$ или независимые?

Это означает, что там т.е. в выражении
$\forall G^{i,j}_{n+1} \forall w^{i,j}_{n+1} \in V(G^{i,j}_{n+1})$
$i$ - одна и та же переменная для $G$ и $w$,
а переменная $j$ - одна и та же переменная для $G$ и $w$.
Это связано с тем, что новая вершина добавляется в $i$-тый $n$-вершинный граф $G^i_n$ и соединяется двумя ребрами с вершинами $j$-го ребра графа, в результате чего появляетcя новый $(n+1)$-вершинный граф $G^{i,j}_{n+1}$ c новой вершиной $w^{i,j}_{n+1}$.
Т.е. и новая вершина, и новый граф определяются номером исходного графа и его ребром.

Не совсем понял про $A(*)$, может дадите ссылочку на литературу, где есть такого рода примеры

[arseniiv]

Эмм, примеры — не знаю; отдельно это вряд ли где-то рассматривается. Но люди иногда расставляют индексы где ни попадя, когда они не нужны. В вашем же случае будет тогда яснее записать $\forall i,j.\, w^{i,j}_{n+1} \in V(G^{i,j}_{n+1})$, если правильно понял.

[sqribner48]

arseniiv
Большое спасибо.
А точка $.$ после $\forall i,j.$ обязательна?

(Оффтоп)

Поздравляю с наступающим новым годом всех,
особенно тех, кто мне помог в этой теме и во всех моих других.
Здоровья, удачи, всех благ, исполнения заветных желаний.
Словом, всего того, чего вы бы сами себе пожелали!

[arseniiv]

sqribner48 в сообщении #1087381 писал(а):

А точка $.$ после $\forall i,j.$ обязательна?

Это сугубо вопрос предпочтений в обозначениях — просто разделитель, пишите как привычнее или принято в контексте (сам иногда без неё пишу ).

(Оффтоп)

Спасибо! И вам хорошего!

[Munin]

Знак подчёркивания туда надо ставить! :-)