Пусть дано произвольное множество
![$A_1$ $A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c74f257c1a844c30acb274ac45ecd39782.png)
и определенная на нем функция
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
. Скажем, что функция
стройная, если для бесконечной последовательности множеств
![$A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset... $ $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset... $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/4/ea4446585e205c3bee356b70461d9e2082.png)
и множества
![$A = \cap A_i$ $A = \cap A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/5/4f5600bbdb324475a6010819a1ae8dad82.png)
верно
![$f(A_1) \supset f(A_2) \supset f(A_3) \supset... $ $f(A_1) \supset f(A_2) \supset f(A_3) \supset... $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86ef857dc73a721a0370e347cb64caba82.png)
и
![$f(A) = \cap f(A_i)$ $f(A) = \cap f(A_i)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/e/91ee166ab2a3d9024324ef8f30f9dc9682.png)
(для чего, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы
![$\cap f(A_i) \subset f(A)$ $\cap f(A_i) \subset f(A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/1/c41807c2db71b30c91c5ea95d297956382.png)
).
Утверждение 1. Инъекция - стройная функция.
В самом деле, рассмотрим любую точку
![$y \in $\cap f(A_i)$ $y \in $\cap f(A_i)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/0/5a0a9a3ee12d4497dd7329a8e35ff34682.png)
. Поскольку функция инъективна, прообраз
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
состоит из единственной точки
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Поскольку
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
входит в каждое
![$f(A_i)$ $f(A_i)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/c/67cbd8eb46b99da438944a17125f216582.png)
,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
входит в каждое
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
, т.е.
![$x \in \cap A_i = A$ $x \in \cap A_i = A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/8/5481d54b002bba9c6c347afda3303f9482.png)
, а потому
![$f(x) \in f(A)$ $f(x) \in f(A)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/0/ee0c3118abf195a85bb63f3b626efa5082.png)
. Итак,
![$\forall y \in \cap f(A_i) \ y \in f(A)$ $\forall y \in \cap f(A_i) \ y \in f(A)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/b/f4b5d5e76165dea05ccc9896ae70404a82.png)
, чего и хотелось.
Но инъективность, являясь достаточным условием стройности, не является необходимым, ибо очевидно утверждение 2.
Утверждение 2. Функция с конечной областью определения - стройная.
Вместе с тем не всякая функция является стройной, как показывают вышеприведенные примеры, которые можно обобщить до утверждения 3.
Утверждение 3. Если в области значения функции есть элемент с бесконечным прообразом, она не стройная.
В самом деле, пусть прообраз элемента
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
- бесконечное множество. Выделим из него счетное подмножество
![$\{x_1, x_2, x_3...\}$ $\{x_1, x_2, x_3...\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/b/f2bfacb016d539a0d75233684d9f143782.png)
и обозначим его
![$A_1$ $A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c74f257c1a844c30acb274ac45ecd39782.png)
. Построим
![$A_2 = A_1 \setminus \{x_1\}$ $A_2 = A_1 \setminus \{x_1\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/9/ab98e33e8b31d83466a1509ffd3b009882.png)
![$A_3 = A_1 \setminus \{x_1, x_2\}$ $A_3 = A_1 \setminus \{x_1, x_2\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/8/f38ba3429357786c468080515755ac5482.png)
,
...
Получим, что для каждого
![$f(A_i) = \{y\}$ $f(A_i) = \{y\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e68a2b69c032d50d25e61eb62911c4382.png)
, в то время как пересечение всех
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
пусто (как в примере
Xaositect).
Вопрос. Достаточно ли для стройности функции, чтобы прообраз каждого элемента области значения был конечен?