Помогите найти предел

[-Sofiko-]

Доброго времени суток! Попалась мне сегодня вот такая хитрая штука =(
$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}$

Попыталась раскрыть по Лопиталю, предварительно сделав дробь 3-х этажной... После 2-х производных, которые ничего не дали, бросила это дело.
Решила расписать $e^{1/x}$ по формуле Тейлора до члена со степенью 2.

$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}=\lim\limits_{x\to +0}^{} \frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3})}$
По сути, если сейчас подставить вместо $x$ нули, то в знаменателе получается бесконечность, в итоге 0.
Но, можно ли так делать? Получается ли, что я рассматриваю отношение пределов? Ведь если в знаменателе бесконечность, то переходить к отношению пределов нельзя...

[Dan B-Yallay]

$u = 1/x$

[NSKuber]

-Sofiko-
Если числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности, то отношение стремится к нулю. Формально переходить к отношению пределов нельзя, но такие специальные случаи можно доказать в два счёта через определение предела.

[ewert]

-Sofiko- в сообщении #1086261 писал(а):

$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}=\lim\limits_{x\to +0}^{} \frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(x^{3})}$

Интересно, как это Вы так получили?... Это ни в каком отношении не верно.

[-Sofiko-]

NSKuber в сообщении #1086267 писал(а):

-Sofiko-
Если числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности, то отношение стремится к нулю. Формально переходить к отношению пределов нельзя, но такие специальные случаи можно доказать в два счёта через определение предела.

В таком случае скажу вот так $\lim\limits_{x\to +0}^{} \frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3})}=0$

и по определению $\forall\varepsilon>0 \ \ \exists\delta(\varepsilon)>0 \ \ \forall x\in D_f \ \ 0<x<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$|\frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3}))}|<|\frac{1}{\frac{1}{2x}}|=|2x|=x<\frac{\varepsilon}{2}$

$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$

-- 27.12.2015, 21:18 --

ewert в сообщении #1086271 писал(а):

-Sofiko- в сообщении #1086261 писал(а):

$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}=\lim\limits_{x\to +0}^{} \frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(x^{3})}$

Интересно, как это Вы так получили?... Это ни в каком отношении не верно.

Хм... почему нет?
$e^{\alpha}=1+\alpha + \frac{\alpha^2}{2!}+o(\alpha^2)$
$\alpha=\frac{1}{x}$ $\to$ $e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x} + \frac{(\frac{1}{x})^2}{2!}+o(\frac{1}{x^2}))$
$e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))$
Подставлю в выражение:
$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}= \lim\limits_{x\to +0} \frac{1}{(1+1+\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))x} $
перемножу
$\lim\limits_{x\to +0} \frac{1}{(x+x+1 + \frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3})} = \lim\limits_{x\to +0}^{} \frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3})}$

[provincialka]

-Sofiko-, а почему вы пренебрегли первым советом:

Dan B-Yallay в сообщении #1086265 писал(а):

$u = 1/x$

Прекрасно всё получается...

-- 27.12.2015, 20:35 --

-Sofiko- в сообщении #1086273 писал(а):

Хм... почему нет?
$e^{\alpha}=1+\alpha + \frac{\alpha^2}{2!}+o(x^2)$
$\alpha=\frac{1}{x}$ $\to$ $e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x} + \frac{(\frac{1}{x})^2}{2!}+o(x^2)$
$e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}+o(x^2)$

Когда вы пишете $o()$, нужно указывать, куда стремится $x$.

[-Sofiko-]

provincialka в сообщении #1086279 писал(а):

-Sofiko-, а почему вы пренебрегли первым советом:

Dan B-Yallay в сообщении #1086265 писал(а):

$u = 1/x$

Прекрасно всё получается...

Прошу меня простить =(
$\lim\limits_{u\to \infty}^{}\frac{u}{(1+e^{u})}$ по Лопиталю $\lim\limits_{u\to \infty}^{}\frac{1}{(e^{u})}=0$

[ewert]

-Sofiko- в сообщении #1086273 писал(а):

Подставлю в выражение:
$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}= \lim\limits_{x\to +0} \frac{1}{(1+1+\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))x} $

Не многовато ли единичек?... Это уж не говоря о том, что условия применимости формулы Тейлора не выполнены.

-Sofiko- в сообщении #1086273 писал(а):

$\lim\limits_{x\to +0}^{}\frac{1}{(1+e^{1/x})x}= \lim\limits_{x\to +0} \frac{1}{(1+1+\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))x} $
перемножу
$\lim\limits_{x\to +0} \frac{1}{(x+x+1 + \frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3})} = \lim\limits_{x\to +0}^{} \frac{1}{2x+1+\frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x^3})}$

Да и перемножать желательно всё-таки по возможности правильно...

[alcoholist]

-Sofiko- в сообщении #1086289 писал(а):

Прошу меня простить =(
$\lim\limits_{u\to \infty}^{}\frac{u}{(1+e^{u})}$ по Лопиталю $\lim\limits_{u\to \infty}^{}\frac{1}{(e^{u})}=0$

это неверно... Знакомы с односторонними пределами?

[-Sofiko-]

alcoholist в сообщении #1086303 писал(а):

-Sofiko- в сообщении #1086289 писал(а):

Прошу меня простить =(
$\lim\limits_{u\to \infty}^{}\frac{u}{(1+e^{u})}$ по Лопиталю $\lim\limits_{u\to \infty}^{}\frac{1}{(e^{u})}=0$

это неверно... Знакомы с односторонними пределами?

Знакомы, а в чем проблема?

[provincialka]

-Sofiko-
Если вам говорят про односторонние пределы, стоит проверить пределы слева и справа. К чему стремится$e^x$ в бесконечности?

[-Sofiko-]

provincialka в сообщении #1086308 писал(а):

-Sofiko-
Если вам говорят про односторонние пределы, стоит проверить пределы слева и справа. К чему стремится$e^x$ в бесконечности?

Забыла поставить везде $+\infty$ ведь у нас $u=\frac{1}{x}$ где $x\to +0$
$\lim\limits_{u\to +\infty}^{}\frac{u}{(1+e^{u})}$ по Лопиталю $\lim\limits_{u\to +\infty}^{}\frac{1}{(e^{u})}=0$

[alcoholist]

-Sofiko- в сообщении #1086311 писал(а):

Забыла поставить везде $+\infty$

вот теперь да