2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение25.12.2015, 14:50 


06/11/13
45
Помогите написать код в Matlab-e или подскажите с чего начать. Задание:
Цитата:
1. Напишите программу в MatLab для поиска приближенного решения краевой задачи для одномерного уравнения гиперболического типа:
$$ u_{tt} = \left((\cos x +2)u_x)_x - (\sin \pi x)u, \qquad u=u(x,t), \qquad 0 \le x \le1, \qquad 0 \le t \le 5, $$$$ u(0,t) = u(1,t) = 0, \qquad u(x,0) = 32x^2(1-x)^3,  \qquad u_t(x,0) = 0.$$Стройте график решения для каждого момента времени $t$.
2. Постройте график функции $E(t)$: $$E(t) = \int\limits_0^t (u_t^2+u_x^2) dx.$$ Для численного вычисления интеграла используйте метод прямоугольников.
3. Постройте в координатах $(x,t)$ трехмерную поверхность $u(x,t)$. Примечание. Графики необходимо выводить в одно графическое окно, но в разные его части. Не допускается строить различные графики в одной плоскости. Графики должны быть оформлены должным образом: оси координат должны быть подписаны, должна быть нанесена сетка, у каждого графики должен быть заголовок.

Нашел пример реализации явной разностной схемы для уравнениях
$u_y = u_{xx} + 8x^2y^4$, $u(x,0) = \sin(\pi x)$, $-u_x(0,y) + 0.5 u(0,y) = 0$, $u_x(1,y) + 0.5u(1,y) = 0.$
Код:
function result=yavn(M)
pause;
N = 3*M^2
h=1/M;
t=1/N;
U=zeros(M+1,N+1);
for X=1:M+1,
   U(X,1)=sin(pi*(X-1)*h);
end
for J=1:N,
   y=(J-1)*t;    
   U(1,J+1)=2*t/h^2*(U(2,J)-U(1,J)*(1+h/2-h^2/(2*t)));
   U(M,J+1)=2*t/h^2*(U(M+1,J)+U(M,J)*(1+h/2-h^2/(2*t)))+t*8*h^2*y^4;
   for X=2:M,
      x=(X-1)*h;
      U(X,J+1)=U(X,J)+t/h^2*(U(X-1,J)-2*U(X,J)+U(X+1,J))+t*(8*x^2*y^4);
   end
end
mesh(0:(1/N):1,0:(1/M):1,U),grid;
result=U;

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение25.12.2015, 21:28 
Заслуженный участник


12/07/07
4134
Донецк, Украина
Найденный Вами пример... не в тему. [В нем рассматривается уравнение параболического типа.]

Приведите, пожалуйста, разностную схему для Вашей задачи. Если Вы не знаете, как составить разностную схему, посмотрите книги по численным методам. [Можно поискать ссылки в темах этого форума. Например в прилепленной теме. В частности, можно посмотреть: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы; Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, Т2.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 02:35 


06/11/13
45
GAA в сообщении #1085860 писал(а):
Найденный Вами пример... не в тему. [В нем рассматривается уравнение параболического типа.]

Приведите, пожалуйста, разностную схему для Вашей задачи. Если Вы не знаете, как составить разностную схему, посмотрите книги по численным методам. [Можно поискать ссылки в темах этого форума. Например в прилепленной теме. В частности, можно посмотреть: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы; Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, Т2.]


Прочитал Гулина ЧМ про "Разностные схемы для уравнения колебаний"
Используем сетку
$w_{h}=\{x_{i}=ih,0..N,hN=1\}, w_{\tau}=\{t_{n}=n\tau, 0...K, K\tau=T\}$
Надо сделать замену $y^{n}_{tt,j}=((y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j}))/\tau^2$ и $y^{n}_{xx,j}=((y^{n}_{j+1}-2y^{n}_{j}+y^{n}_{j-1}))/h^2$ для $j=1...N-1,n=1...K-1$ и использовать начальное условие $y^{0}_{i}=u_{0}(x_{i}), i=1...N-1$, получим разностную схему, а вот как это проделать на моем примере не совсем ясно, подкажите :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 02:46 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
dair в сообщении #1085911 писал(а):
а вот как это проделать на моем примере не совсем ясно
Давайте начнем с такого вопроса:
dair в сообщении #1085911 писал(а):
Надо сделать замену $y^{n}_{tt,j}=((y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j}))/\tau^2$
Как получено это выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 10:13 


06/11/13
45
Pphantom в сообщении #1085913 писал(а):
dair в сообщении #1085911 писал(а):
а вот как это проделать на моем примере не совсем ясно
Давайте начнем с такого вопроса:
dair в сообщении #1085911 писал(а):
Надо сделать замену $y^{n}_{tt,j}=((y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j}))/\tau^2$
Как получено это выражение?


Используем пятиточечный шаблон(крест) в котором используется три слоя $n-1,n,n+1$ и запишем
$y_{t}=\frac{y^{n+1}_{j}-y^{n}_{j}}{\tau}$
$y_{\bar{t}}=\frac{y^{n}_{j}-y^{n-1}_{j}}{\tau}$
$y_{\hat{t}}=\frac{y^{n+1}_{j}-y^{n-1}_{j}}{2\tau}$
$y^{n}_{\bar{t}t,j}=\frac{y_{t}-y_{\bar{t}}}{\tau}=\frac{((y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j}))}{\tau^2}$
аналогично для $y^{n}_{\bar{x}x,j}$, а как заменить именно вот это $((\cos{x}+2)u_{x})_{x}$?

-- 26.12.2015, 13:34 --

dair в сообщении #1085925 писал(а):
а как заменить именно вот это $((\cos{x}+2)u_{x})_{x}$?

Напишу свой вариант: Пусть $a_{i}=\cos{x_{i}+2}$ тогда запишем разностное отношение $(au_{\bar{x}})_{x}=1/h(a_{i+1}\frac{y^{n}_{i+1}-y^{n}_{i}}{h}-a_{i}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{h}) 
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 12:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
dair в сообщении #1085925 писал(а):
запишем разностное отношение $(au_{\bar{x}})_{x}=1/h(a_{i+1}\frac{y^{n}_{i+1}-y^{n}_{i}}{h}-a_{i}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{h})
$

Только $a_{i\pm\frac12}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 12:45 


06/11/13
45
dair в сообщении #1085925 писал(а):
$y^{n}_{\bar{t}t,j}=\frac{y_{t}-y_{\bar{t}}}{\tau}=\frac{((y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j}))}{\tau^2}$

ewert в сообщении #1085939 писал(а):
dair в сообщении #1085925 писал(а):
запишем разностное отношение$ (au_{\bar{x}})_{x}=1/h(a_{i+1}\frac{y^{n}_{i+1}-y^{n}_{i}}{h}-a_{i}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{h}) 
$

Только $a_{i\pm\frac12}$

Тогда разностная схема запишется так!?
$\frac{(y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j})}{\tau^2}=1/h(a_{i+1/2}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i}}{h}-a_{i-1/2}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{h}) + f(x,j)y^{n}_{j}
$
$u(x,0) = 32x_{i}^2(1-x_{i})^3
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 13:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
dair в сообщении #1085949 писал(а):
Тогда разностная схема запишется так!?
$\frac{(y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j})}{\tau^2}=1/h(a_{i+1/2}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i}}{h}-a_{i-1/2}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{h}) + f(x,j)y^{n}_{j}$
Да, именно. Единственная добавка: $a_{i+1/2}=(a_i+a_{i+1})/2$ (в том смысле, что интерполировать стоит уже косинус, а не считать эту функцию в $x_{i+1/2}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 14:15 


06/11/13
45
Pphantom в сообщении #1085957 писал(а):
dair в сообщении #1085949 писал(а):
Тогда разностная схема запишется так!?
$\frac{(y^{n+1}_{j}-2y^{n}_{j}+y^{n-1}_{j})}{\tau^2}=1/h(a_{i+1/2}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i}}{h}-a_{i-1/2}\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{h}) + f(x,j)y^{n}_{j}$
Да, именно. Единственная добавка: $a_{i+1/2}=(a_i+a_{i+1})/2$ (в том смысле, что интерполировать стоит уже косинус, а не считать эту функцию в $x_{i+1/2}$).


Я правильно понял, что теперь надо выразить
$ 
y^{n+1}_{j}=\tau^2/h((a_j+a_{j+1})\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i}}{2h}-(a_j+a_{j-1})\frac{y^{n}_{i}-y^{n}_{i-1}}{2h}) + \tau^2f(x,j)y^{n}_{j}+2y^{n}_{j}-y^{n-1}_{j}$
и начинать с $y^{0}_{j}= 32x_{j}^2(1-x_{j})^3$ до $j=N-1$ и $n=K-1
$

-- 26.12.2015, 17:25 --

Pphantom в сообщении #1085957 писал(а):
$a_{i+1/2}=(a_i+a_{i+1})/2$

что то не совсем понятно, откуда вы это получили :roll: пожалуйста поподробней объясните

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 14:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
Кстати, один индекс $i+1$ Вы потеряли (в первом слагаемом, при $y$). И индексы где-то $i$, где-то $j$, хотя должна быть какая-то одна буква.
dair в сообщении #1085972 писал(а):
Я правильно понял, что теперь надо выразить
Да - с точностью до поправок выше.
dair в сообщении #1085972 писал(а):
что то не совсем понятно, откуда вы это получили
А как Вы хотели бы вычислять что-то на полуцелой сетке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 18:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Pphantom в сообщении #1085957 писал(а):
Единственная добавка: $a_{i+1/2}=(a_i+a_{i+1})/2$ (в том смысле, что интерполировать стоит уже косинус, а не считать эту функцию в $x_{i+1/2}$).

Нет никакого смысла интерполировать косинус (хоть и приведёт это к практически тем же результатам), коль скоро по условию он считается тупо явно.

-- Сб дек 26, 2015 19:33:20 --

dair в сообщении #1085972 писал(а):
что то не совсем понятно, откуда вы это получили

В результате тупой линейной интерполяции. Которая вполне сохраняет второй порядок точности схемы в целом; но которая вполне и не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 18:38 


06/11/13
45
Попробовал написать программу, что то ошибки повалились, может не так написал
Код:
N = 30;
M = 30;
U = zeros(N, M);
tau = 0.01;
h = 0.01;


% численный метод
for k=1:N-1
U(k, 1) = 32*k^2 *(1-k)^3;
end


for n=1:14
    for i=1:M-1
         U(i, n + 1) = (tau^2 ./ h)*((cos(i)+cos(i+1)+4)*(U(i+1,n)-U(i,n))/2*h-(cos(i)+cos(i-1)+4)*(U(i,n)-U(i-1,n))/2*h)+(tau^2*sin(pi*i)*U(i,n))+2*U(i,n)-U(i,n-1);
    end
end

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 19:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
ewert в сообщении #1086025 писал(а):
Нет никакого смысла интерполировать косинус (хоть и приведёт это к практически тем же результатам), коль скоро по условию он считается тупо явно.
Не стоит учить человека плохому. :-) В данном случае разницы действительно (почти) нет, но с менее рафинированной задачей картина может быть и хуже.

-- 26.12.2015, 19:29 --

dair в сообщении #1086028 писал(а):
что то ошибки повалились, может не так написал
У Вас аргументом того самого пресловутого косинуса (да и синуса) служит номер узла. Какой в этом смысл? Не путайте координату узла и его номер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 19:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32089

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1086043 писал(а):
Не стоит учить человека плохому. :-)

И в то же время стОит учить товарища грамотному, в смысле Оккаму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение приближенного решения краевой задачи гиперболичес
Сообщение26.12.2015, 20:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1086056 писал(а):
И в то же время стОит учить товарища грамотному, в смысле Оккаму.
Тоже верно. Однако сказано: преждевременная оптимизация суть грех. :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group