Автоморфизмы прямой суммы групп

[fiztech]

Здравствуйте.
Была задача найти группу автоморфизмов группы $Z_{3} \bigoplus Z_{3}$. Я доказал , что она изоморфна $GL(Z_{3})$ и состоит из 48 элементов . Теперь задача состоит в том, чтобы найти автоморфизм порядка 9. Получается нужно найти матрицу два на два над $Z_{3}$, чтобы в 9 степени она равнялась единичной матрице. Только как это сделать не приложу ума. Может кто-то знает ?

[Xaositect]

48 не делится на 9

[Brukvalub]

Разве не проще задавать автоморфизм на образующих абелевой группы?

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1085590 писал(а):

Разве не проще задавать автоморфизм на образующих абелевой группы?

Так это же оно и есть.

[fiztech]

Xaositect
Ах да ... порядок элемента же должен делить порядок группы.
А если надо было бы найти элемент порядка 8 ?

[Brukvalub]

В добавление к мной сказанному: разве не проще для задания автоморфизма просто указать, в какие элементы группы переходят образующие, не привлекая матрицы?

[fiztech]

Brukvalub
Образующие должны переходить в образующие.
$ x \mapsto ax + by $
$ y \mapsto cx + dy $
, где
$ x=(1,0)$
$ y=(0,1)$
и матрица составленная из $a,b,c,d$ должна быть невырожденной (может кто объяснить почему?) то есть определитель должен быть не равен нулю по модулю 3. Таких матриц 48.