Глобальное решение дифференциального уравнения

[tallar]

Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ - глобально липшицева. Нужно показать, что максимальное решение дифференциального уравнения $\dot{x} = f(x)$ определено на $\mathbb{R}.$ Пытался как-то оценить скорость роста фиксированного максимального решения $x:(a;b) \to \mathbb{R}^n$ с помощью неравенства

$$\|\dot{x}(t)-\dot{x}(0)\| \leq c\|x(t)-x(0)\|$$

и далее воспользоваться теоремой о том, что в случае, например $b<+\infty$, решение покидает пределы любого компакта при достаточно больших к $b$ моментах времени. Но ничего не получилось.

[Someone]

Теорема Пикара?

[dsge]

Гронуэл-Беллман

[ewert]

Ну да, Пикара. В ней (при аккуратной её формулировке) выписывается граница снизу для интервала продолжения, и зависит эта граница как раз только от константы Липшица (если на иксы как таковые никаких ограничений нет). Откуда и продолжать можно неограниченно.

-- Пт дек 25, 2015 02:17:57 --

Это если под глобальной липшицевостью понимается, разумеется, её глобальная равномерность. А иначе увы, естественно.