график функции

[KPEHgEJIb]

f(x)=-x^2+bx b>0

Начертить фигуру, ограниченную осью Ox и линией y=f(x), а также вписанный в эту фигуру прямоугольный треугольник, у которого одна вершина расположена в начале координат, один из катетов на оси Ox и противоположная ему вершина на линии y=f(x). Найти максимально возможную площадь этого треугольника

Треугольник начертил, а вот как найти максимально возможную площадь не могу понять. Насколько я знаю надо использовать вторую производную, но ума не приложу как. Заранее благодарен.

[Brukvalub]

Запишите площадь треугольника как функцию относительно координаты его подвижной вершины, расположенной на оси ОХ и найдите ее наибольшее значение.

[Gordmit]

Обозначьте какой-нибудь буквой, например $a$, длину катета, лежащего на оси Ох и выразите через нее площадь $S=S(a)$ прямоугольного треугольника. Далее нужно найти максимальное значение функции $S(a)$ при $0\leqslant a\leqslant b$.

[KPEHgEJIb]

У меня получилось b^2/4, но я не уверен в верности этого ответа.

Brukvalub, я не понимаю как можно писать площадь треугольника как функцию относительно координаты подвижной вершины, расположенной на оси ОХ. Не дошёл ещё до этого. Не могли бы вы объяснить.

[Brukvalub]

Если длина катета, расположенного по оси ОХ равна

\[ x\;,\;0 \le x \le b \]

, то длина второго катета =

\[ - x^2 + bx \]

, и тогда площадь равна

\[ S(x) = - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}bx^2\]