Замкнутое выпуклое подмножество в С[0,1]

[SpaceMind]

Добрый день! Обращаюсь к Вам с вопросом по поводу задачи:
Дано множество функций из $C[0,1]$: $B=${$t^{n}(1+\frac{1}{n})$}$\limits_{n=1}^{\infty}$. Образуем множество $A=\overline{convB}$ (замыкание выпуклой оболочки), которое является замкнутым и выпуклым. Требуется показать, что не существует функции $f\in A$: $\lVert f\rVert_{C[0,1]}=1$.
Я показал, что $\inf\limits_{f\in A}\lVert f\rVert_{C[0,1]}=1$, а вот с предыдущим утверждением бьюсь очень долго. Я знаю, что $f\in A$: $f(t)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{l=1}^{n}\alpha_{l_{i}}t^{l_{i}}(1+\frac{1}{l_{i}})$. Можете подсказать, с чего начать хотя бы? ($\lVert f\rVert_{C[0,1]}=\max\limits_{t\in{[0,1]}}|f(t)|$)

[demolishka]

Посмотрите на функции из множества $B$ - у них максимум в единице. У выпуклых комбинаций максимум там же и он строго больше единицы.
Далее от противного - пусть такая $f$ найдется. Тогда ее очень хорошо приближает какая-то выпуклая комбинация. В частности в единице. Это значит что у $f$ максимум в единице и в этой выпуклой комбинации участвуют элементы из $B$ с большими номерами. У этих элементов с большими номерами очень близкое к нулю значение на полуинтервале $[0;1)$, значит $f$ на этом полуинтервале тоже близка к нулю. Но максимум у нее в точке $1$ и сколь угодно малое значение на полуинтервале $[0;1)$. Но такого не может быть из соображений непрерывности.