Задача на тему ребусы

[Esecman]

Доброго времени суток, ребят.
Какой день решаю задачу на тему "ребусы" или как правильно обозвать то , но что-то не выходит решение откровенно говоря.
Вообщем, условие такое:
"Мы с подружками по вечерам разгадывали ребусы. Соревнование длилось столько дней, сколько было участниц. Каждой засчитывалось одно очко за решение первого ребуса, два - за решение второго и т.д. Мы решили 100 ребусов. Каждый вечер вместе мы набирали 100 очков. Каждая из нас в конце концов набрала по 100 очков, причем ни разу не было так, чтобы кто-нибудь из нас не решил за вечер ни одного ребуса. В первый вечер я решила 7 ребусов, а Света - 6. В последний вечер Лена решила только 3 ребуса", - писала Таня сестре. Достаточно ли сведений, чтобы выяснить, сколько ребусов решила Лена в первый вечер?

План решения на текущий момент у меня таков:
Изначально, в условии, говорится о минимум 3 подругах. Я доказал, что подруг больше трех, потому что 100 - 28 - 21, тогда на Лену приходится 51 очков. Т.к. не имеется такое количество ребусов с таким число очков, следовательно, пусто.
Из условия задачи, вероятно, можно применить метод магического квадрата (Если не так - рассудите). Когда сумма по вертикали и горизонтали равна 100. (100 очков у каждой AND в день в сумме у подруг 100 очков)
Если из формулы магической константы выразить n, то n может принимать 4 или 5. (n ~ 5, 7910)
Далее, я начал расписывать варианты кол-ва очков относительно 5 подруг, при условии, что в первый вечер Света и Таня решили 6 и 7 ребусов соответственно, а Лена в последний 3 ребуса.
Варианты такие (при $n = 5$):
1 день:
$ 21 + 28 + 15 + 15 + 21 21 + 28 + 45 + 3 + 3 $
2, 3, 4 дни:
$ 21 + 28 + 15 + 15 + 21 21 + 28 + 45 + 3 + 3 28 + 36 + 15 + 15 + 6 36 + 45 + 6 + 10 + 3 91 + 6 + 1 + 1 + 1 78 + 6 + 10 + 3 + 3 55 + 6 + 28 + 10 + 1 10 + 15 + 6 + 3 + 66 78 + 15 + 3 + 3 + 1 $
5 день:
$ 28 + 36 + 15 + 15 + 6 36 + 45 + 6 + 10 + 3 91 + 6 + 1 + 1 + 1 78 + 6 + 10 + 3 + 3 55 + 6 + 28 + 10 + 1 $
Интуитивно мне удалось доказать, что вариант с при n равном 5 не существует. (Ну не получилось найти такие варианты, чтобы 100 очков по вертикали и горизонтали, и логичным образом, 100 ребусов в сумме (не более и не менее))
Поэтому, я начал рассматривать вариант с n равным 4. (Пока ничего дельного)
Вообщем, пока ничего дельного еще не получилось. Быть может есть путь проще и круче? Надеюсь на Вашу помощь ну или подсказку

[gris]

Вообще-то, $100-28-21=51$
Одна столько не наберёт, но две вполне: $21+28+15+36$ или $21+28+45+6$

Я тоже не по той клавише попал
А нумерация ребусов для зачисления очков начинается каждый день, конечно
То есть надо смастерить магический квадрат, пользуясь числами $1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78, 91$ в каждой строке?

[Esecman]

gris в сообщении #1085109 писал(а):

Вообще-то, $100-28-21=51$
Одна столько не наберёт, но две вполне: $21+29+15+36$ или $21+29+45+6$

Ой, при сверке немного перепутал. Вариант с 29 очками не существует кстати
Вероятно, вы имели ввиду 28
-----
Вы правы. Это если учесть, что рассуждение идет относительно первого вечера. Если Вас интересуют варианты разложения 100 очков на 4, тогда у меня их минимум 9:
$ 91 + 3 + 3 + 3 21 + 28 + 36 + 15 21 + 28 + 45 + 6 15 + 15 + 15 + 55 66 + 28 + 3 + 3 78 + 15 + 6 + 1 36 + 55 + 3 + 6 78 + 10 + 6 + 6 66 + 21 + 10 + 3$

[gris]

Магический квадрат даст выполнение условий по очкам. А как учесть то, что всего было 100 ребусов?
Пройдёт ли тут вообще вариант с пятью подругами?

[Esecman]

gris в сообщении #1085109 писал(а):

Вообще-то, $100-28-21=51$
То есть надо смастерить магический квадрат, пользуясь числами $1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78, 91$ в каждой строке?

Именно, также не забывать про условия Лены, Светы и Тани, а также в сумме на n-дней было решено 100 ребусов.
Вероятнее всего, у меня не хватает теории по магическому квадрату. Быть может у Вас получится лучше - будет очень весело.

-- 23.12.2015, 20:07 --

gris в сообщении #1085122 писал(а):

Магический квадрат даст выполнение условий по очкам. А как учесть то, что всего было 100 ребусов?

А вот это уже отдельный вопрос. Я могу только предположить, что получится всего один вариант выполнения магического квадрата, что в конечном счете даст сумму 100 ребусов ну или иначе задача вылазит очень хардовым способом, поэтому, нужно искать альтернативы для решения этой задачи. Возможно, мои предположения неверны.

---
Из очков в ребусы -> складываем -> проверяем на 100

-- 23.12.2015, 20:29 --

gris в сообщении #1085122 писал(а):

Пройдёт ли тут вообще вариант с пятью подругами?

Откровенно говоря, только на интуитивном уровне, нет.
Прямо сейчас займусь обоснованием этого случая. Отпишусь.

[12d3]

Небольшое исследование.
Я тут с помощью компа генерировал все возможные способы набрать сто очков в день для заданного числа подруг, и выяснил такую штуку. Чтобы решить в сумме 100 ребусов, нужно в день в среднем решать по $\frac{100}{n}$ штук, где $n$ - количество подруг. Если $n > 5$, то все возможные способы набрать 100 очков в день дают количество решенных ребусов большее, чем $\frac{100}{n}$, поэтому у нас два варианта - 4 или 5 подруг. Хоть ТС это и выяснил в самом начале, самому это вывести тоже полезно. =)
Для $n=5$ ситуация такая. Нам нужно решать в среднем по 20 ребусов в день. Единственный вариант, дающий меньше 20 ребусов, это $1+1+1+6+91$ - 19 ребусов. Все способы, в которых одна из подруг решила 7 ребусов, а другая 6, дают не менее 26 решенных ребусов (это в первый день). В остальные 4 дня решали не меньше 19 ребусов, итого за 5 дней получится больше 100 ребусов.
Так что осталось рассмотреть только вариант с 4 подругами.

-- Ср дек 23, 2015 21:20:25 --

А вот и все магические квадраты, удовлетворяющие условиям задачи, приплыли. В них первый столбик - Таня, второй столбик - Света, третий столбик - Лена.
Каким-то совершенно магическим образом, во всех квадратах Лена в первый день решила 9 ребусов.

(квадратики)

==========================
28 21 45 6
6 45 21 28
45 6 28 21
21 28 6 45
==========================
28 21 45 6
6 45 28 21
45 6 21 28
21 28 6 45
==========================
28 21 45 6
45 6 21 28
6 45 28 21
21 28 6 45
==========================
28 21 45 6
45 6 28 21
6 45 21 28
21 28 6 45
==========================
28 21 45 6
6 28 21 45
45 6 28 21
21 45 6 28
==========================
28 21 45 6
45 6 28 21
6 28 21 45
21 45 6 28
==========================
28 21 45 6
6 45 21 28
21 6 28 45
45 28 6 21
==========================
28 21 45 6
21 6 28 45
6 45 21 28
45 28 6 21

[Esecman]

Да. Ответ верный. Осталось только разобраться. Позже отпишу, если будут вопросы. Спасибо.

-- 23.12.2015, 23:01 --

(Мысли вслух)

Ясно, что если подруг и дней 4, то в день в среднем должно быть решено 25 ребусов.
(Выполняется при одном условии $28+21+45+6$)
Далее, магический квадрат решается за счет перестановок количества очков из этой последовательности.
Да. Все очень даже логично. Почему же я сразу не дошел до этого? Все предельно просто!

-- 23.12.2015, 23:12 --

Квадрат называется магическим, если сумма по вертикали, горизонтали и по диагоналям равны.
В данном случае, должно быть в трех случаях 100 (очков).
Значит, из всех квадратиков подходит только этот вариант:
$ 28 21 45 6 45 6 28 21 6 45 21 28 21 28 6 45 $
Все равно ответ - 9 ребусов. Отлично!

[Esecman]

Остался последний вопрос: Как я могу быстро решить магический квадрат, если на олимпиаде на одну задачу у меня будет максимум 40 минут?

-- 24.12.2015, 00:07 --

Из квадрата заметил чередование. Это просто совпадение или оно так и есть по какому-то свойству и прочее?

[grizzly]

Esecman в сообщении #1085231 писал(а):

Остался последний вопрос: Как я могу быстро решить магический квадрат, если на олимпиаде на одну задачу у меня будет максимум 40 минут?

У меня тоже к Вам вопросы
Зачем Вам магический квадрат с диагоналями? Какой "физический" смысл этих диагоналей для задачи?
Как Вы увязываете приведенный магический квадрат с ответом на вопрос задачи? Я этого не понял. (В советах выше был полный компьютерный перебор, что давало ответ на вопрос в случае отсутствия ошибок алгоритма.)

Мне приходит в голову такая безыдейная программа технического решения:
У Вас есть только 4 варианта для первого дня:
28, 21, 45, 6,
28, 21, 6, 45,
28, 21, 36, 15,
28, 21, 15, 36.
Первый вариант, очевидно, подходит (на оставшиеся 3 дня можно просто сдвигать по циклу последовательность без всякой магии -- понятно, что всё сойдётся, лишь бы в последний день 6 попало в нужное место). Теперь Ваша задача свелась к тому, чтобы доказать, что остальные варианты несовместимы с 6 очками третьей подруги в последний день.

На реальной олимпиаде я бы попытался раскрутить эту программу доказательства, не имея лучшей идеи. Времени на неё должно хватить с головой -- в любом случае на какие-то баллы результатов наскребётся. Здесь я пытаться расписывать подробности не хочу (я и не смотрел до конца), поскольку это решение чисто техническое, без всякой изюминки. Но если не найдёте ничего лучшего, попробуйте так.