Вычисление предела с помощью формулы Тейлора.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток, помогите найти ошибку!
Требуеться вычислить вот такой предел:
$\lim\limits_{x \to 0}^{}(\ln (\sin x+ \ln (\cos x) + 1) + \exp(\frac{-x + x^2}{2 - \frac{x^3}{5}}))^{\frac{1}{\arcsin \frac{x}{2} - \arctg \frac{x}{2}}}$

Вот такой огромный кошмар, ну, ладно, поехали:

1) Преобразуем показатель по формулам Тейлора:

$\arcsin \frac{x}{2} = \frac{x}{2} + \frac{x^3}{48} + o(x^3)$
$\arctg \frac{x}{2} = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{24} + o(x^3)$
Итого, вычитая из первого второе, получаем:

$G(x) = \frac{1}{\frac{x^3}{16} + o(x^3)}$

Под $G(x)$ здесь и далее разумееться показатель. Данный промежуточный результат отлично согласуеться с ответом, здесь пока ошибки нет.

2) Начинаем преобразовывать основание степени (в силу того, что в показатели стоит $x^3$ будем раскладывать все до кубов) :

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)$

Далее пользуясь известным разложением следующего вида:
$\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + o(x^n)$
Постепенно разбираемся с первым слогаемым:
$\ln (\cos x) = \ln ( 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)) = -\frac{x^2}{2} + o(x^3) - \frac{x^4}{8} + o(x^6) = -\frac{x^2}{2} + o(x^3) $
$\ln ( \sin x + \ln (\cos x) + 1) = \ln (1 + x -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)) = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \frac{ (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6})^2}{2} + \frac{( x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6})^3}{3} + o(x^3)$

Для удобства выписывую работу с каждой из больших дробей отдельно, помятую что нас интересуют члены не более третьей степени:

$\frac{ (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6})^2}{2} = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} $
$\frac{ (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6})^3}{3} = \frac{x^3}{3} $

Итого получаеться что-то такое:

$x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \frac{ (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6})^2}{2} + \frac{( x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6})^3}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)= x - x^2 + \frac{2x^3}{3} + o(x^3)$

Между делом как верстать формулу, чтобы они в одну строчку укладывались с нормальными размерами?

3) Тем временем экспонента (второе слагаемое) заслуживает себе отдельного пункта, у нее дурной показатель, поэтому сначала предлагается преобразовать его. Для этого мы вспомним еще такое полезное разложение (частный случай биноминального):
$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + o(x^n)$

Поглядим на показатель:

$ \frac{x^2 - x}{2 - \frac{x^3}{5}} = \frac{x^2 - x}{2} \frac{1}{1 - \frac{x^3}{10}} = \frac{(x^2 - x)(1 + \frac{x^3}{10})}{2}$

Теперь давайте расчленим еще и экспоненту:

$ \exp \frac{(x^2 - x)(1 + \frac{x^3}{10})}{2} = 1 + \frac{(x^2 - x)(1 + \frac{x^3}{10})}{2} + \frac{((x^2 - x)(1 + \frac{x^3)^2}{10})}{8} + \frac{((x^2 - x)(1 + \frac{x^3}{10}))^3}{48} + o(x^3)$

В голову все лезет навязчивая мысль, что где-то я допускаю страшную ошибку и потому все так усложняеться, или же просто авторы этого примера немного переусердствовали. Ну да ладно, утешает тот факт, что нам не нужно ничего выше кубов, поэтому из гигантских дробей выскакивает вот такое простое выраженье:

$\exp \frac{(x^2 - x)(1 + \frac{x^3}{10})}{2} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{4} + \frac{x^3}{48} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{48} = 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{8} + \frac{x^3}{48}$

Ну уже видно, что не очень хорошо, у нас члены порядка два и один никуда не уходят. Мне кажеться, что я что-то не так с экспонентой делую. Помогите пожалуйста.

[NSKuber]

Вроде нет ошибок. Да и полученные результаты согласуются с предлагаемым Вольфрамом ответом (не осилил ссылку нормально сделать ):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%28%28ln%28sinx%2Bln%28cosx%29%2B1%29%2Be^%28%28x^2-x%29%2F%282-x^3%2F5%29%29%29^%281%2F%28arcsin%28x%2F2%29-arctg%28x%2F2%29%29%29%29%2C+x-%3E0

Если ответ в источнике другой, возможно где-то в задании опечатка.

[Pulseofmalstrem]

NSKuber
Да вижу. То есть сам метод решения правильный? Если так все нормально (кому-то в прошлом году не повезло на экзамене, жаль людей)

[Ms-dos4]

Pulseofmalstrem
Ну тут есть некоторые опечатки в разложениях, но не принципиально. Важно то, что у вас основание (при$ \[x \to 0\]$) имеет вид $\[1 + \frac{x}{2}\]$, а показатель $\[\frac{{16}}{{{x^3}}}\]$, что в совокупности даёт при $\[x \to 0\]$ функцию вида $\[{e^{\frac{8}{{{x^2}}}}}\]$, т.е. предел равен бесконечности.

[Pulseofmalstrem]

Ms-dos4
А можете указать места, где я сделал опечатки, просто чтобы поискать арифметику (мне же по этому всему экзамен в пятницу писать).
Потому как стандартные расложения я вроде бы правильно выписал.

[Brukvalub]

Единственная ошибка, которую я нашел, это неверный знак в самом конце разложения экспоненты.

[Ms-dos4]

Brukvalub
Да там ещё в том же разложении у куба неверная константа (кажется должно быть так $\[1 - \frac{x}{2} + \frac{{5{x^2}}}{8} - \frac{{13{x^3}}}{{48}}\]$). Но как я уже сказал, это всё не принципиально.

[Pulseofmalstrem]

Спасибо большое.

[grizzly]

Pulseofmalstrem
Насколько сложно для Вас оценить в уме порядок разложения основания с точностью до $o(x)?$ Если совсем просто, то имеет смысл сделать такой анализ, прежде чем решать задание на чистовике.

С другой стороны, с моим советом Вы рискуете потратить впустую даже эти пару драгоценных минут на экзамене. Согласен. Но пусть Вы уже сделали все выкладки на черновике и убедились, что в основании и показателе разные порядки. Действительно ли настолько важно тянуть в чистовик все члены до $o(x^3)?$ Ошибки и потеря времени в этом случае просто неизбежны. Убедитесь сами, насколько упрощаются выкладки, если ограничиться в основании членами до $o(x).$

[ewert]

Pulseofmalstrem в сообщении #1085029 писал(а):

Поглядим на показатель:

$ \frac{x^2 - x}{2 - \frac{x^3}{5}} = \frac{x^2 - x}{2} \frac{1}{1 - \frac{x^3}{10}} = \frac{(x^2 - x)(1 + \frac{x^3}{10})}{2}$

Это легкомысленно. Нельзя забывать выписывать поправки, а то чревато. Но, с другой стороны:

grizzly в сообщении #1085077 писал(а):

С другой стороны, с моим советом Вы рискуете потратить впустую даже эти пару драгоценных минут на экзамене.

-- ничем он не рискует. Грубая и предварительная оценка ситуации практически обязательна -- вот именно чтоб не тратить драгоценных секунд. А вот после того, как предварительно результат стал уже очевиден -- только потом уже надо включать честный учёт о-маленьких. И именно после предварительного анализа становится очевидным, что конкретно тут-то вполне достаточно поправок лишь к главным членам.

Конечно, экономия времени получается не такой уж и большой -- всего лишь примерно десятикратной. Но даже и на экзамене она не помешает!

(Оффтоп)

(grizzly, это не Вам, конечно; но я просто не понял, зачем тут это всё)